Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
noinfbnd1.1 |
|- T = if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
2 |
1
|
noinfno |
|- ( ( B C_ No /\ B e. V ) -> T e. No ) |
3 |
2
|
3ad2ant2 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y T e. No ) |
4 |
|
simp2l |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y B C_ No ) |
5 |
|
simp3 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y U e. B ) |
6 |
4 5
|
sseldd |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y U e. No ) |
7 |
|
nodmon |
|- ( T e. No -> dom T e. On ) |
8 |
3 7
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y dom T e. On ) |
9 |
|
noreson |
|- ( ( U e. No /\ dom T e. On ) -> ( U |` dom T ) e. No ) |
10 |
6 8 9
|
syl2anc |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` dom T ) e. No ) |
11 |
|
ssidd |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y dom T C_ dom T ) |
12 |
|
dmres |
|- dom ( U |` dom T ) = ( dom T i^i dom U ) |
13 |
|
inss1 |
|- ( dom T i^i dom U ) C_ dom T |
14 |
12 13
|
eqsstri |
|- dom ( U |` dom T ) C_ dom T |
15 |
14
|
a1i |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y dom ( U |` dom T ) C_ dom T ) |
16 |
|
nodmord |
|- ( T e. No -> Ord dom T ) |
17 |
3 16
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y Ord dom T ) |
18 |
|
ordsucss |
|- ( Ord dom T -> ( h e. dom T -> suc h C_ dom T ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( h e. dom T -> suc h C_ dom T ) ) |
20 |
19
|
imp |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y suc h C_ dom T ) |
21 |
20
|
resabs1d |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( ( U |` dom T ) |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) |
22 |
1
|
noinfdm |
|- ( -. E. x e. B A. y e. B -. y dom T = { h | E. p e. B ( h e. dom p /\ A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) ) } ) |
23 |
22
|
eleq2d |
|- ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( h e. dom T <-> h e. { h | E. p e. B ( h e. dom p /\ A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) ) } ) ) |
24 |
|
abid |
|- ( h e. { h | E. p e. B ( h e. dom p /\ A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) ) } <-> E. p e. B ( h e. dom p /\ A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) ) ) |
25 |
|
breq2 |
|- ( q = v -> ( p p |
26 |
25
|
notbid |
|- ( q = v -> ( -. p -. p |
27 |
|
reseq1 |
|- ( q = v -> ( q |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) |
28 |
27
|
eqeq2d |
|- ( q = v -> ( ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) <-> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) |
29 |
26 28
|
imbi12d |
|- ( q = v -> ( ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) <-> ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
30 |
29
|
cbvralvw |
|- ( A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) <-> A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) |
31 |
30
|
anbi2i |
|- ( ( h e. dom p /\ A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) ) <-> ( h e. dom p /\ A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
32 |
31
|
rexbii |
|- ( E. p e. B ( h e. dom p /\ A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) ) <-> E. p e. B ( h e. dom p /\ A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
33 |
24 32
|
bitri |
|- ( h e. { h | E. p e. B ( h e. dom p /\ A. q e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( q |` suc h ) ) ) } <-> E. p e. B ( h e. dom p /\ A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) |
34 |
23 33
|
bitrdi |
|- ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( h e. dom T <-> E. p e. B ( h e. dom p /\ A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
35 |
34
|
3ad2ant1 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( h e. dom T <-> E. p e. B ( h e. dom p /\ A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) |
36 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> B C_ No ) |
37 |
|
simprl |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> p e. B ) |
38 |
36 37
|
sseldd |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> p e. No ) |
39 |
6
|
adantr |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> U e. No ) |
40 |
|
sltso |
|- |
41 |
|
soasym |
|- ( ( ( p -. U |
42 |
40 41
|
mpan |
|- ( ( p e. No /\ U e. No ) -> ( p -. U |
43 |
38 39 42
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p -. U |
44 |
|
nodmon |
|- ( p e. No -> dom p e. On ) |
45 |
38 44
|
syl |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> dom p e. On ) |
46 |
|
simprrl |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> h e. dom p ) |
47 |
|
onelon |
|- ( ( dom p e. On /\ h e. dom p ) -> h e. On ) |
48 |
45 46 47
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> h e. On ) |
49 |
|
sucelon |
|- ( h e. On <-> suc h e. On ) |
50 |
48 49
|
sylib |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> suc h e. On ) |
51 |
|
sltres |
|- ( ( U e. No /\ p e. No /\ suc h e. On ) -> ( ( U |` suc h ) U |
52 |
39 38 50 51
|
syl3anc |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( ( U |` suc h ) U |
53 |
43 52
|
nsyld |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p -. ( U |` suc h ) |
54 |
|
noreson |
|- ( ( U e. No /\ suc h e. On ) -> ( U |` suc h ) e. No ) |
55 |
39 50 54
|
syl2anc |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( U |` suc h ) e. No ) |
56 |
|
sonr |
|- ( ( -. ( U |` suc h ) |
57 |
40 56
|
mpan |
|- ( ( U |` suc h ) e. No -> -. ( U |` suc h ) |
58 |
55 57
|
syl |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( U |` suc h ) |
59 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ -. p -. ( U |` suc h ) |
60 |
|
breq2 |
|- ( v = U -> ( p p |
61 |
60
|
notbid |
|- ( v = U -> ( -. p -. p |
62 |
|
reseq1 |
|- ( v = U -> ( v |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) |
63 |
62
|
eqeq2d |
|- ( v = U -> ( ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) <-> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) |
64 |
61 63
|
imbi12d |
|- ( v = U -> ( ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) <-> ( -. p ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) ) |
65 |
|
simprrr |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) |
66 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> U e. B ) |
67 |
64 65 66
|
rspcdva |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( -. p ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) |
68 |
67
|
imp |
|- ( ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ -. p ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) |
69 |
68
|
breq2d |
|- ( ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ -. p ( ( U |` suc h ) ( U |` suc h ) |
70 |
59 69
|
mtbird |
|- ( ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ -. p -. ( U |` suc h ) |
71 |
70
|
ex |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( -. p -. ( U |` suc h ) |
72 |
53 71
|
pm2.61d |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( U |` suc h ) |
73 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. E. x e. B A. y e. B -. y |
74 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( B C_ No /\ B e. V ) ) |
75 |
1
|
noinfres |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) -> ( T |` suc h ) = ( p |` suc h ) ) |
76 |
73 74 37 46 65 75
|
syl113anc |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( T |` suc h ) = ( p |` suc h ) ) |
77 |
76
|
breq2d |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( ( U |` suc h ) ( U |` suc h ) |
78 |
72 77
|
mtbird |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( U |` suc h ) |
79 |
78
|
rexlimdvaa |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( E. p e. B ( h e. dom p /\ A. v e. B ( -. p ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) -> -. ( U |` suc h ) |
80 |
35 79
|
sylbid |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y ( h e. dom T -> -. ( U |` suc h ) |
81 |
80
|
imp |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y -. ( U |` suc h ) |
82 |
21 81
|
eqnbrtrd |
|- ( ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y -. ( ( U |` dom T ) |` suc h ) |
83 |
82
|
ralrimiva |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y A. h e. dom T -. ( ( U |` dom T ) |` suc h ) |
84 |
|
noresle |
|- ( ( ( T e. No /\ ( U |` dom T ) e. No ) /\ ( dom T C_ dom T /\ dom ( U |` dom T ) C_ dom T /\ A. h e. dom T -. ( ( U |` dom T ) |` suc h ) -. ( U |` dom T ) |
85 |
3 10 11 15 83 84
|
syl23anc |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y -. ( U |` dom T ) |