Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
noinfbnd1.1 |
|- T = if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
2 |
|
simpr1 |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y B C_ No ) |
3 |
|
simpl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y E. x e. B A. y e. B -. y |
4 |
|
nominmo |
|- ( B C_ No -> E* x e. B A. y e. B -. y |
5 |
2 4
|
syl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y E* x e. B A. y e. B -. y |
6 |
|
reu5 |
|- ( E! x e. B A. y e. B -. y ( E. x e. B A. y e. B -. y |
7 |
3 5 6
|
sylanbrc |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y E! x e. B A. y e. B -. y |
8 |
|
riotacl |
|- ( E! x e. B A. y e. B -. y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
10 |
2 9
|
sseldd |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
11 |
|
noextendlt |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) |
13 |
|
simpr3 |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y U e. B ) |
14 |
|
nfv |
|- F/ x ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) |
15 |
|
nfcv |
|- F/_ x B |
16 |
|
nfcv |
|- F/_ x y |
17 |
|
nfcv |
|- F/_ x |
18 |
|
nfriota1 |
|- F/_ x ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
19 |
16 17 18
|
nfbr |
|- F/ x y |
20 |
19
|
nfn |
|- F/ x -. y |
21 |
15 20
|
nfralw |
|- F/ x A. y e. B -. y |
22 |
14 21
|
nfim |
|- F/ x ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> A. y e. B -. y |
23 |
|
simpl |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y ( x e. B /\ A. y e. B -. y |
24 |
|
rspe |
|- ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y E. x e. B A. y e. B -. y |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y E. x e. B A. y e. B -. y |
26 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y B C_ No ) |
27 |
26 4
|
syl |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y E* x e. B A. y e. B -. y |
28 |
25 27 6
|
sylanbrc |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y E! x e. B A. y e. B -. y |
29 |
|
riota1 |
|- ( E! x e. B A. y e. B -. y ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
31 |
23 30
|
mpbid |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
32 |
|
simplr |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y A. y e. B -. y |
33 |
|
nfra1 |
|- F/ y A. y e. B -. y |
34 |
|
nfcv |
|- F/_ y B |
35 |
33 34
|
nfriota |
|- F/_ y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
36 |
35
|
nfeq1 |
|- F/ y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
37 |
|
breq2 |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( y y |
38 |
37
|
notbid |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( -. y -. y |
39 |
36 38
|
ralbid |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( A. y e. B -. y A. y e. B -. y |
40 |
39
|
biimprd |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( A. y e. B -. y A. y e. B -. y |
41 |
31 32 40
|
sylc |
|- ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y A. y e. B -. y |
42 |
41
|
exp31 |
|- ( x e. B -> ( A. y e. B -. y ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> A. y e. B -. y |
43 |
22 42
|
rexlimi |
|- ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> A. y e. B -. y |
44 |
43
|
imp |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y A. y e. B -. y |
45 |
|
nfcv |
|- F/_ y U |
46 |
|
nfcv |
|- F/_ y |
47 |
45 46 35
|
nfbr |
|- F/ y U |
48 |
47
|
nfn |
|- F/ y -. U |
49 |
|
breq1 |
|- ( y = U -> ( y U |
50 |
49
|
notbid |
|- ( y = U -> ( -. y -. U |
51 |
48 50
|
rspc |
|- ( U e. B -> ( A. y e. B -. y -. U |
52 |
13 44 51
|
sylc |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y -. U |
53 |
|
nofun |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y Fun ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
54 |
|
funrel |
|- ( Fun ( iota_ x e. B A. y e. B -. y Rel ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
55 |
10 53 54
|
3syl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y Rel ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
56 |
|
sssucid |
|- dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
57 |
|
relssres |
|- ( ( Rel ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
58 |
55 56 57
|
sylancl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
59 |
58
|
breq2d |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
60 |
2 13
|
sseldd |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y U e. No ) |
61 |
|
nodmon |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
62 |
10 61
|
syl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
63 |
|
sucelon |
|- ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
64 |
62 63
|
sylib |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
65 |
|
sltres |
|- ( ( U e. No /\ ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y U |
66 |
60 10 64 65
|
syl3anc |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y U |
67 |
59 66
|
sylbird |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y U |
68 |
52 67
|
mtod |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y -. ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
69 |
|
1oex |
|- 1o e. _V |
70 |
69
|
prid1 |
|- 1o e. { 1o , 2o } |
71 |
70
|
noextend |
|- ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) e. No ) |
72 |
10 71
|
syl |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) e. No ) |
73 |
|
noreson |
|- ( ( U e. No /\ suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
74 |
60 64 73
|
syl2anc |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
75 |
|
sltso |
|- |
76 |
|
sotr3 |
|- ( ( . } ) e. No /\ ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) |
77 |
75 76
|
mpan |
|- ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) e. No /\ ( iota_ x e. B A. y e. B -. y ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) |
78 |
72 10 74 77
|
syl3anc |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) |
79 |
12 68 78
|
mp2and |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) |
80 |
|
iftrue |
|- ( E. x e. B A. y e. B -. y if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) ) |
81 |
1 80
|
syl5eq |
|- ( E. x e. B A. y e. B -. y T = ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) ) |
82 |
81
|
adantr |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y T = ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) ) |
83 |
81
|
dmeqd |
|- ( E. x e. B A. y e. B -. y dom T = dom ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) ) |
84 |
69
|
dmsnop |
|- dom { <. dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } = { dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
85 |
84
|
uneq2i |
|- ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) = ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
86 |
|
dmun |
|- dom ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) = ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) |
87 |
|
df-suc |
|- suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
88 |
85 86 87
|
3eqtr4i |
|- dom ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) = suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
89 |
83 88
|
eqtrdi |
|- ( E. x e. B A. y e. B -. y dom T = suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
90 |
89
|
reseq2d |
|- ( E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` dom T ) = ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
91 |
90
|
adantr |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y ( U |` dom T ) = ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y |
92 |
79 82 91
|
3brtr4d |
|- ( ( E. x e. B A. y e. B -. y T |
93 |
|
simpl |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y -. E. x e. B A. y e. B -. y |
94 |
|
simpr1 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y B C_ No ) |
95 |
|
simpr2 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y B e. V ) |
96 |
|
simpr3 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y U e. B ) |
97 |
1
|
noinfbnd1lem6 |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y T |
98 |
93 94 95 96 97
|
syl121anc |
|- ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y T |
99 |
92 98
|
pm2.61ian |
|- ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> T |