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Theorem noinfbnd1

Description: Bounding law from above for the surreal infimum. Analagous to proposition 4.2 of Lipparini p. 6. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024)

Ref Expression
Hypothesis noinfbnd1.1
|- T = if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u  ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u  ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
Assertion noinfbnd1
|- ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> T 

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 noinfbnd1.1
 |-  T = if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u  ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u  ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
2 simpr1
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  B C_ No )
3 simpl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  E. x e. B A. y e. B -. y 
4 nominmo
 |-  ( B C_ No -> E* x e. B A. y e. B -. y 
5 2 4 syl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  E* x e. B A. y e. B -. y 
6 reu5
 |-  ( E! x e. B A. y e. B -. y  ( E. x e. B A. y e. B -. y 
7 3 5 6 sylanbrc
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  E! x e. B A. y e. B -. y 
8 riotacl
 |-  ( E! x e. B A. y e. B -. y  ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
9 7 8 syl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
10 2 9 sseldd
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
11 noextendlt
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) 
12 10 11 syl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) 
13 simpr3
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  U e. B )
14 nfv
 |-  F/ x ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B )
15 nfcv
 |-  F/_ x B
16 nfcv
 |-  F/_ x y
17 nfcv
 |-  F/_ x 
18 nfriota1
 |-  F/_ x ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
19 16 17 18 nfbr
 |-  F/ x y 
20 19 nfn
 |-  F/ x -. y 
21 15 20 nfralw
 |-  F/ x A. y e. B -. y 
22 14 21 nfim
 |-  F/ x ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> A. y e. B -. y 
23 simpl
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  ( x e. B /\ A. y e. B -. y 
24 rspe
 |-  ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  E. x e. B A. y e. B -. y 
25 24 adantr
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  E. x e. B A. y e. B -. y 
26 simpr1
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  B C_ No )
27 26 4 syl
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  E* x e. B A. y e. B -. y 
28 25 27 6 sylanbrc
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  E! x e. B A. y e. B -. y 
29 riota1
 |-  ( E! x e. B A. y e. B -. y  ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
30 28 29 syl
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
31 23 30 mpbid
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
32 simplr
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  A. y e. B -. y 
33 nfra1
 |-  F/ y A. y e. B -. y 
34 nfcv
 |-  F/_ y B
35 33 34 nfriota
 |-  F/_ y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
36 35 nfeq1
 |-  F/ y ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
37 breq2
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( y  y 
38 37 notbid
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( -. y  -. y 
39 36 38 ralbid
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( A. y e. B -. y  A. y e. B -. y 
40 39 biimprd
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( A. y e. B -. y  A. y e. B -. y 
41 31 32 40 sylc
 |-  ( ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y  A. y e. B -. y 
42 41 exp31
 |-  ( x e. B -> ( A. y e. B -. y  ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> A. y e. B -. y 
43 22 42 rexlimi
 |-  ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> A. y e. B -. y 
44 43 imp
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  A. y e. B -. y 
45 nfcv
 |-  F/_ y U
46 nfcv
 |-  F/_ y 
47 45 46 35 nfbr
 |-  F/ y U 
48 47 nfn
 |-  F/ y -. U 
49 breq1
 |-  ( y = U -> ( y  U 
50 49 notbid
 |-  ( y = U -> ( -. y  -. U 
51 48 50 rspc
 |-  ( U e. B -> ( A. y e. B -. y  -. U 
52 13 44 51 sylc
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  -. U 
53 nofun
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  Fun ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
54 funrel
 |-  ( Fun ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  Rel ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
55 10 53 54 3syl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  Rel ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
56 sssucid
 |-  dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
57 relssres
 |-  ( ( Rel ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
58 55 56 57 sylancl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
59 58 breq2d
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
60 2 13 sseldd
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  U e. No )
61 nodmon
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
62 10 61 syl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
63 sucelon
 |-  ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
64 62 63 sylib
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
65 sltres
 |-  ( ( U e. No /\ ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  U 
66 60 10 64 65 syl3anc
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  U 
67 59 66 sylbird
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  U 
68 52 67 mtod
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  -. ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
69 1oex
 |-  1o e. _V
70 69 prid1
 |-  1o e. { 1o , 2o }
71 70 noextend
 |-  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) e. No )
72 10 71 syl
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) e. No )
73 noreson
 |-  ( ( U e. No /\ suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
74 60 64 73 syl2anc
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
75 sltso
 |-  
76 sotr3
 |-  ( ( . } ) e. No /\ ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } )  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) 
77 75 76 mpan
 |-  ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) e. No /\ ( iota_ x e. B A. y e. B -. y  ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } )  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) 
78 72 10 74 77 syl3anc
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } )  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) 
79 12 68 78 mp2and
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) 
80 iftrue
 |-  ( E. x e. B A. y e. B -. y  if ( E. x e. B A. y e. B -. y . } ) , ( g e. { y | E. u e. B ( y e. dom u /\ A. v e. B ( -. u  ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. B ( g e. dom u /\ A. v e. B ( -. u  ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) )
81 1 80 syl5eq
 |-  ( E. x e. B A. y e. B -. y  T = ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) )
82 81 adantr
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  T = ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) )
83 81 dmeqd
 |-  ( E. x e. B A. y e. B -. y  dom T = dom ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) )
84 69 dmsnop
 |-  dom { <. dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } = { dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
85 84 uneq2i
 |-  ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) = ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
86 dmun
 |-  dom ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) = ( dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } )
87 df-suc
 |-  suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
88 85 86 87 3eqtr4i
 |-  dom ( ( iota_ x e. B A. y e. B -. y . } ) = suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
89 83 88 eqtrdi
 |-  ( E. x e. B A. y e. B -. y  dom T = suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
90 89 reseq2d
 |-  ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( U |` dom T ) = ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
91 90 adantr
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  ( U |` dom T ) = ( U |` suc dom ( iota_ x e. B A. y e. B -. y 
92 79 82 91 3brtr4d
 |-  ( ( E. x e. B A. y e. B -. y  T 
93 simpl
 |-  ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y  -. E. x e. B A. y e. B -. y 
94 simpr1
 |-  ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y  B C_ No )
95 simpr2
 |-  ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y  B e. V )
96 simpr3
 |-  ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y  U e. B )
97 1 noinfbnd1lem6
 |-  ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y  T 
98 93 94 95 96 97 syl121anc
 |-  ( ( -. E. x e. B A. y e. B -. y  T 
99 92 98 pm2.61ian
 |-  ( ( B C_ No /\ B e. V /\ U e. B ) -> T