Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nosupfv.1 |
|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
2 |
|
iffalse |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x if ( E. x e. A A. y e. A -. x . } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
syl5eq |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x S = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) |
4 |
3
|
fveq1d |
|- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( S ` G ) = ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( S ` G ) = ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) ) |
6 |
|
simp32 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. dom U ) |
7 |
|
dmeq |
|- ( p = U -> dom p = dom U ) |
8 |
7
|
eleq2d |
|- ( p = U -> ( G e. dom p <-> G e. dom U ) ) |
9 |
|
breq2 |
|- ( p = U -> ( v v |
10 |
9
|
notbid |
|- ( p = U -> ( -. v -. v |
11 |
|
reseq1 |
|- ( p = U -> ( p |` suc G ) = ( U |` suc G ) ) |
12 |
11
|
eqeq1d |
|- ( p = U -> ( ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
13 |
10 12
|
imbi12d |
|- ( p = U -> ( ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
14 |
13
|
ralbidv |
|- ( p = U -> ( A. v e. A ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
15 |
8 14
|
anbi12d |
|- ( p = U -> ( ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
16 |
15
|
rspcev |
|- ( ( U e. A /\ ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
17 |
16
|
3impb |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
18 |
|
dmeq |
|- ( u = p -> dom u = dom p ) |
19 |
18
|
eleq2d |
|- ( u = p -> ( G e. dom u <-> G e. dom p ) ) |
20 |
|
breq2 |
|- ( u = p -> ( v v |
21 |
20
|
notbid |
|- ( u = p -> ( -. v -. v |
22 |
|
reseq1 |
|- ( u = p -> ( u |` suc G ) = ( p |` suc G ) ) |
23 |
22
|
eqeq1d |
|- ( u = p -> ( ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
24 |
21 23
|
imbi12d |
|- ( u = p -> ( ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
25 |
24
|
ralbidv |
|- ( u = p -> ( A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
26 |
19 25
|
anbi12d |
|- ( u = p -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
cbvrexvw |
|- ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
28 |
17 27
|
sylibr |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
29 |
28
|
3ad2ant3 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
30 |
|
eleq1 |
|- ( y = G -> ( y e. dom u <-> G e. dom u ) ) |
31 |
|
suceq |
|- ( y = G -> suc y = suc G ) |
32 |
31
|
reseq2d |
|- ( y = G -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc G ) ) |
33 |
31
|
reseq2d |
|- ( y = G -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc G ) ) |
34 |
32 33
|
eqeq12d |
|- ( y = G -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
35 |
34
|
imbi2d |
|- ( y = G -> ( ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
36 |
35
|
ralbidv |
|- ( y = G -> ( A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
37 |
30 36
|
anbi12d |
|- ( y = G -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
38 |
37
|
rexbidv |
|- ( y = G -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) ) |
39 |
6 29 38
|
elabd |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) |
40 |
|
eleq1 |
|- ( g = G -> ( g e. dom u <-> G e. dom u ) ) |
41 |
|
suceq |
|- ( g = G -> suc g = suc G ) |
42 |
41
|
reseq2d |
|- ( g = G -> ( u |` suc g ) = ( u |` suc G ) ) |
43 |
41
|
reseq2d |
|- ( g = G -> ( v |` suc g ) = ( v |` suc G ) ) |
44 |
42 43
|
eqeq12d |
|- ( g = G -> ( ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) <-> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
45 |
44
|
imbi2d |
|- ( g = G -> ( ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
46 |
45
|
ralbidv |
|- ( g = G -> ( A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
47 |
|
fveqeq2 |
|- ( g = G -> ( ( u ` g ) = x <-> ( u ` G ) = x ) ) |
48 |
40 46 47
|
3anbi123d |
|- ( g = G -> ( ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
49 |
48
|
rexbidv |
|- ( g = G -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
50 |
49
|
iotabidv |
|- ( g = G -> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) = ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
51 |
|
eqid |
|- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) |
52 |
|
iotaex |
|- ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) e. _V |
53 |
50 51 52
|
fvmpt |
|- ( G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } -> ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) = ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
54 |
39 53
|
syl |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) = ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
55 |
|
simp1 |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> U e. A ) |
56 |
|
simp2 |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> G e. dom U ) |
57 |
|
simp3 |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
58 |
|
eqidd |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> ( U ` G ) = ( U ` G ) ) |
59 |
|
dmeq |
|- ( u = U -> dom u = dom U ) |
60 |
59
|
eleq2d |
|- ( u = U -> ( G e. dom u <-> G e. dom U ) ) |
61 |
|
breq2 |
|- ( u = U -> ( v v |
62 |
61
|
notbid |
|- ( u = U -> ( -. v -. v |
63 |
|
reseq1 |
|- ( u = U -> ( u |` suc G ) = ( U |` suc G ) ) |
64 |
63
|
eqeq1d |
|- ( u = U -> ( ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) |
65 |
62 64
|
imbi12d |
|- ( u = U -> ( ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
66 |
65
|
ralbidv |
|- ( u = U -> ( A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) |
67 |
|
fveq1 |
|- ( u = U -> ( u ` G ) = ( U ` G ) ) |
68 |
67
|
eqeq1d |
|- ( u = U -> ( ( u ` G ) = ( U ` G ) <-> ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
69 |
60 66 68
|
3anbi123d |
|- ( u = U -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) ) |
70 |
69
|
rspcev |
|- ( ( U e. A /\ ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
71 |
55 56 57 58 70
|
syl13anc |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
72 |
71
|
3ad2ant3 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
73 |
|
fvex |
|- ( U ` G ) e. _V |
74 |
|
eqid |
|- ( u ` G ) = ( u ` G ) |
75 |
|
fvex |
|- ( u ` G ) e. _V |
76 |
|
eqeq2 |
|- ( x = ( u ` G ) -> ( ( u ` G ) = x <-> ( u ` G ) = ( u ` G ) ) ) |
77 |
76
|
3anbi3d |
|- ( x = ( u ` G ) -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( u ` G ) ) ) ) |
78 |
75 77
|
spcev |
|- ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( u ` G ) ) -> E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
79 |
74 78
|
mp3an3 |
|- ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
80 |
79
|
reximi |
|- ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. A E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
81 |
|
rexcom4 |
|- ( E. u e. A E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
82 |
80 81
|
sylib |
|- ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
83 |
28 82
|
syl |
|- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
84 |
83
|
3ad2ant3 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
85 |
|
nosupprefixmo |
|- ( A C_ No -> E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
86 |
85
|
adantr |
|- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
87 |
86
|
3ad2ant2 |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
88 |
|
df-eu |
|- ( E! x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) /\ E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) ) |
89 |
84 87 88
|
sylanbrc |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E! x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) |
90 |
|
eqeq2 |
|- ( x = ( U ` G ) -> ( ( u ` G ) = x <-> ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) |
91 |
90
|
3anbi3d |
|- ( x = ( U ` G ) -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) ) |
92 |
91
|
rexbidv |
|- ( x = ( U ` G ) -> ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) ) |
93 |
92
|
iota2 |
|- ( ( ( U ` G ) e. _V /\ E! x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) -> ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) ) |
94 |
73 89 93
|
sylancr |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) ) |
95 |
72 94
|
mpbid |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) |
96 |
5 54 95
|
3eqtrd |
|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( S ` G ) = ( U ` G ) ) |