Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
limelon |
|- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On ) |
2 |
|
omcl |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) e. On ) |
3 |
|
eloni |
|- ( ( A .o B ) e. On -> Ord ( A .o B ) ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> Ord ( A .o B ) ) |
5 |
1 4
|
sylan2 |
|- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Ord ( A .o B ) ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> Ord ( A .o B ) ) |
7 |
|
0ellim |
|- ( Lim B -> (/) e. B ) |
8 |
|
n0i |
|- ( (/) e. B -> -. B = (/) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( Lim B -> -. B = (/) ) |
10 |
|
n0i |
|- ( (/) e. A -> -. A = (/) ) |
11 |
9 10
|
anim12ci |
|- ( ( Lim B /\ (/) e. A ) -> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) |
12 |
11
|
adantll |
|- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) |
13 |
12
|
adantll |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) |
14 |
|
om00 |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o B ) = (/) <-> ( A = (/) \/ B = (/) ) ) ) |
15 |
14
|
notbid |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> -. ( A = (/) \/ B = (/) ) ) ) |
16 |
|
ioran |
|- ( -. ( A = (/) \/ B = (/) ) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) |
17 |
15 16
|
bitrdi |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) ) |
18 |
1 17
|
sylan2 |
|- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) ) |
20 |
13 19
|
mpbird |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. ( A .o B ) = (/) ) |
21 |
|
vex |
|- y e. _V |
22 |
21
|
sucid |
|- y e. suc y |
23 |
|
omlim |
|- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( A .o x ) ) |
24 |
|
eqeq1 |
|- ( ( A .o B ) = suc y -> ( ( A .o B ) = U_ x e. B ( A .o x ) <-> suc y = U_ x e. B ( A .o x ) ) ) |
25 |
24
|
biimpac |
|- ( ( ( A .o B ) = U_ x e. B ( A .o x ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> suc y = U_ x e. B ( A .o x ) ) |
26 |
23 25
|
sylan |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> suc y = U_ x e. B ( A .o x ) ) |
27 |
22 26
|
eleqtrid |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> y e. U_ x e. B ( A .o x ) ) |
28 |
|
eliun |
|- ( y e. U_ x e. B ( A .o x ) <-> E. x e. B y e. ( A .o x ) ) |
29 |
27 28
|
sylib |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> E. x e. B y e. ( A .o x ) ) |
30 |
29
|
adantlr |
|- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> E. x e. B y e. ( A .o x ) ) |
31 |
|
onelon |
|- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On ) |
32 |
1 31
|
sylan |
|- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> x e. On ) |
33 |
|
onnbtwn |
|- ( x e. On -> -. ( x e. B /\ B e. suc x ) ) |
34 |
|
imnan |
|- ( ( x e. B -> -. B e. suc x ) <-> -. ( x e. B /\ B e. suc x ) ) |
35 |
33 34
|
sylibr |
|- ( x e. On -> ( x e. B -> -. B e. suc x ) ) |
36 |
35
|
com12 |
|- ( x e. B -> ( x e. On -> -. B e. suc x ) ) |
37 |
36
|
adantl |
|- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( x e. On -> -. B e. suc x ) ) |
38 |
32 37
|
mpd |
|- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> -. B e. suc x ) |
39 |
38
|
ad5ant24 |
|- ( ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A .o x ) ) -> -. B e. suc x ) |
40 |
|
simpl |
|- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> B e. On ) |
41 |
40 31
|
jca |
|- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> ( B e. On /\ x e. On ) ) |
42 |
1 41
|
sylan |
|- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( B e. On /\ x e. On ) ) |
43 |
42
|
anim2i |
|- ( ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) -> ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) ) |
44 |
43
|
anassrs |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ x e. B ) -> ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) ) |
45 |
|
omcl |
|- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On ) |
46 |
|
eloni |
|- ( ( A .o x ) e. On -> Ord ( A .o x ) ) |
47 |
|
ordsucelsuc |
|- ( Ord ( A .o x ) -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. suc ( A .o x ) ) ) |
48 |
46 47
|
syl |
|- ( ( A .o x ) e. On -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. suc ( A .o x ) ) ) |
49 |
|
oa1suc |
|- ( ( A .o x ) e. On -> ( ( A .o x ) +o 1o ) = suc ( A .o x ) ) |
50 |
49
|
eleq2d |
|- ( ( A .o x ) e. On -> ( suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) <-> suc y e. suc ( A .o x ) ) ) |
51 |
48 50
|
bitr4d |
|- ( ( A .o x ) e. On -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) ) ) |
52 |
45 51
|
syl |
|- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) ) ) |
53 |
52
|
adantr |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) ) ) |
54 |
|
eloni |
|- ( A e. On -> Ord A ) |
55 |
|
ordgt0ge1 |
|- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) ) |
56 |
54 55
|
syl |
|- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) ) |
57 |
56
|
adantr |
|- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) ) |
58 |
|
1on |
|- 1o e. On |
59 |
|
oaword |
|- ( ( 1o e. On /\ A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( 1o C_ A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) ) |
60 |
58 59
|
mp3an1 |
|- ( ( A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( 1o C_ A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) ) |
61 |
45 60
|
syldan |
|- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( 1o C_ A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) ) |
62 |
57 61
|
bitrd |
|- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( (/) e. A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) ) |
63 |
62
|
biimpa |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) |
64 |
|
omsuc |
|- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) ) |
65 |
64
|
adantr |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) ) |
66 |
63 65
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( A .o suc x ) ) |
67 |
66
|
sseld |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) -> suc y e. ( A .o suc x ) ) ) |
68 |
53 67
|
sylbid |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> suc y e. ( A .o suc x ) ) ) |
69 |
|
eleq1 |
|- ( ( A .o B ) = suc y -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) <-> suc y e. ( A .o suc x ) ) ) |
70 |
69
|
biimprd |
|- ( ( A .o B ) = suc y -> ( suc y e. ( A .o suc x ) -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) |
71 |
68 70
|
syl9 |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> ( y e. ( A .o x ) -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) ) |
72 |
71
|
com23 |
|- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) ) |
73 |
72
|
adantlrl |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) ) |
74 |
|
sucelon |
|- ( x e. On <-> suc x e. On ) |
75 |
|
omord |
|- ( ( B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On ) -> ( ( B e. suc x /\ (/) e. A ) <-> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) |
76 |
|
simpl |
|- ( ( B e. suc x /\ (/) e. A ) -> B e. suc x ) |
77 |
75 76
|
syl6bir |
|- ( ( B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) ) |
78 |
74 77
|
syl3an2b |
|- ( ( B e. On /\ x e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) ) |
79 |
78
|
3comr |
|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) ) |
80 |
79
|
3expb |
|- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) ) |
81 |
80
|
adantr |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) ) |
82 |
73 81
|
syl6d |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) ) |
83 |
44 82
|
sylan |
|- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ x e. B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) ) |
84 |
83
|
an32s |
|- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) ) |
85 |
84
|
imp |
|- ( ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A .o x ) ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) |
86 |
39 85
|
mtod |
|- ( ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A .o x ) ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) |
87 |
86
|
rexlimdva2 |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( E. x e. B y e. ( A .o x ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) ) |
88 |
87
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> ( E. x e. B y e. ( A .o x ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) ) |
89 |
30 88
|
mpd |
|- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) |
90 |
89
|
pm2.01da |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) |
91 |
90
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ y e. On ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) |
92 |
91
|
nrexdv |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) |
93 |
|
ioran |
|- ( -. ( ( A .o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) <-> ( -. ( A .o B ) = (/) /\ -. E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) ) |
94 |
20 92 93
|
sylanbrc |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. ( ( A .o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) ) |
95 |
|
dflim3 |
|- ( Lim ( A .o B ) <-> ( Ord ( A .o B ) /\ -. ( ( A .o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) ) ) |
96 |
6 94 95
|
sylanbrc |
|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> Lim ( A .o B ) ) |