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Theorem osumcllem9N

Description: Lemma for osumclN . (Contributed by NM, 24-Mar-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses osumcllem.l 
|- .<_ = ( le ` K )
osumcllem.j 
|- .\/ = ( join ` K )
osumcllem.a 
|- A = ( Atoms ` K )
osumcllem.p 
|- .+ = ( +P ` K )
osumcllem.o 
|- ._|_ = ( _|_P ` K )
osumcllem.c 
|- C = ( PSubCl ` K )
osumcllem.m 
|- M = ( X .+ { p } )
osumcllem.u 
|- U = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
Assertion osumcllem9N 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M = X )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 osumcllem.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 osumcllem.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 osumcllem.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 osumcllem.p 
 |-  .+ = ( +P ` K )
5 osumcllem.o 
 |-  ._|_ = ( _|_P ` K )
6 osumcllem.c 
 |-  C = ( PSubCl ` K )
7 osumcllem.m 
 |-  M = ( X .+ { p } )
8 osumcllem.u 
 |-  U = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) )
9 inass 
 |-  ( ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) i^i M ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) )
10 simp11 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> K e. HL )
11 simp13 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y e. C )
12 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( ._|_ ` Y ) )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 osumcllem3N 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y e. C /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) = Y )
14 10 11 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) = Y )
15 14 ineq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) i^i U ) i^i M ) = ( Y i^i M ) )
16 9 15 eqtr3id 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) = ( Y i^i M ) )
17 simp12 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X e. C )
18 3 6 psubclssatN 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ A )
19 10 17 18 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ A )
20 3 6 psubclssatN 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ A )
21 10 11 20 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> Y C_ A )
22 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X =/= (/) )
23 3 4 paddssat 
 |-  ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
24 10 19 21 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ A )
25 3 5 polssatN 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A )
26 10 24 25 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A )
27 3 5 polssatN 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ A )
28 10 26 27 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) C_ A )
29 8 28 eqsstrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> U C_ A )
30 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. U )
31 29 30 sseldd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> p e. A )
32 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> -. p e. ( X .+ Y ) )
33 1 2 3 4 5 6 7 8 osumcllem8N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. A ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( Y i^i M ) = (/) )
34 10 19 21 12 22 31 32 33 syl331anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( Y i^i M ) = (/) )
35 16 34 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) = (/) )
36 35 fveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) = ( ._|_ ` (/) ) )
37 3 5 pol0N 
 |-  ( K e. HL -> ( ._|_ ` (/) ) = A )
38 10 37 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` (/) ) = A )
39 36 38 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) = A )
40 1 2 3 4 5 6 7 8 osumcllem1N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ p e. U ) -> ( U i^i M ) = M )
41 10 19 21 30 40 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( U i^i M ) = M )
42 39 41 ineq12d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = ( A i^i M ) )
43 3 5 6 polsubclN 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) e. C )
44 10 26 43 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) e. C )
45 8 44 eqeltrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> U e. C )
46 3 4 6 paddatclN 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. C /\ p e. A ) -> ( X .+ { p } ) e. C )
47 10 17 31 46 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) e. C )
48 7 47 eqeltrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M e. C )
49 6 psubclinN 
 |-  ( ( K e. HL /\ U e. C /\ M e. C ) -> ( U i^i M ) e. C )
50 10 45 48 49 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( U i^i M ) e. C )
51 1 2 3 4 5 6 7 8 osumcllem2N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ Y C_ A ) /\ p e. U ) -> X C_ ( U i^i M ) )
52 10 19 21 30 51 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> X C_ ( U i^i M ) )
53 6 5 poml6N 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ ( U i^i M ) e. C ) /\ X C_ ( U i^i M ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = X )
54 10 17 50 52 53 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( U i^i M ) ) ) i^i ( U i^i M ) ) = X )
55 31 snssd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> { p } C_ A )
56 3 4 paddssat 
 |-  ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ { p } C_ A ) -> ( X .+ { p } ) C_ A )
57 10 19 55 56 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( X .+ { p } ) C_ A )
58 7 57 eqsstrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M C_ A )
59 sseqin2 
 |-  ( M C_ A <-> ( A i^i M ) = M )
60 58 59 sylib 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> ( A i^i M ) = M )
61 42 54 60 3eqtr3rd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) /\ p e. U ) /\ -. p e. ( X .+ Y ) ) -> M = X )