Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pj1eu.a |
|- .+ = ( +g ` G ) |
2 |
|
pj1eu.s |
|- .(+) = ( LSSum ` G ) |
3 |
|
pj1eu.o |
|- .0. = ( 0g ` G ) |
4 |
|
pj1eu.z |
|- Z = ( Cntz ` G ) |
5 |
|
pj1eu.2 |
|- ( ph -> T e. ( SubGrp ` G ) ) |
6 |
|
pj1eu.3 |
|- ( ph -> U e. ( SubGrp ` G ) ) |
7 |
|
pj1eu.4 |
|- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } ) |
8 |
|
pj1eu.5 |
|- ( ph -> T C_ ( Z ` U ) ) |
9 |
1 2
|
lsmelval |
|- ( ( T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) ) |
10 |
5 6 9
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( X e. ( T .(+) U ) <-> E. x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) ) |
11 |
10
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> E. x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) |
12 |
|
reeanv |
|- ( E. y e. U E. v e. U ( X = ( x .+ y ) /\ X = ( u .+ v ) ) <-> ( E. y e. U X = ( x .+ y ) /\ E. v e. U X = ( u .+ v ) ) ) |
13 |
|
eqtr2 |
|- ( ( X = ( x .+ y ) /\ X = ( u .+ v ) ) -> ( x .+ y ) = ( u .+ v ) ) |
14 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> T e. ( SubGrp ` G ) ) |
15 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> U e. ( SubGrp ` G ) ) |
16 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> ( T i^i U ) = { .0. } ) |
17 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> T C_ ( Z ` U ) ) |
18 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> x e. T ) |
19 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> u e. T ) |
20 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> y e. U ) |
21 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> v e. U ) |
22 |
1 3 4 14 15 16 17 18 19 20 21
|
subgdisjb |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> ( ( x .+ y ) = ( u .+ v ) <-> ( x = u /\ y = v ) ) ) |
23 |
|
simpl |
|- ( ( x = u /\ y = v ) -> x = u ) |
24 |
22 23
|
syl6bi |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> ( ( x .+ y ) = ( u .+ v ) -> x = u ) ) |
25 |
13 24
|
syl5 |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) /\ ( y e. U /\ v e. U ) ) -> ( ( X = ( x .+ y ) /\ X = ( u .+ v ) ) -> x = u ) ) |
26 |
25
|
rexlimdvva |
|- ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) -> ( E. y e. U E. v e. U ( X = ( x .+ y ) /\ X = ( u .+ v ) ) -> x = u ) ) |
27 |
12 26
|
syl5bir |
|- ( ( ph /\ ( x e. T /\ u e. T ) ) -> ( ( E. y e. U X = ( x .+ y ) /\ E. v e. U X = ( u .+ v ) ) -> x = u ) ) |
28 |
27
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. x e. T A. u e. T ( ( E. y e. U X = ( x .+ y ) /\ E. v e. U X = ( u .+ v ) ) -> x = u ) ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> A. x e. T A. u e. T ( ( E. y e. U X = ( x .+ y ) /\ E. v e. U X = ( u .+ v ) ) -> x = u ) ) |
30 |
|
oveq1 |
|- ( x = u -> ( x .+ y ) = ( u .+ y ) ) |
31 |
30
|
eqeq2d |
|- ( x = u -> ( X = ( x .+ y ) <-> X = ( u .+ y ) ) ) |
32 |
31
|
rexbidv |
|- ( x = u -> ( E. y e. U X = ( x .+ y ) <-> E. y e. U X = ( u .+ y ) ) ) |
33 |
|
oveq2 |
|- ( y = v -> ( u .+ y ) = ( u .+ v ) ) |
34 |
33
|
eqeq2d |
|- ( y = v -> ( X = ( u .+ y ) <-> X = ( u .+ v ) ) ) |
35 |
34
|
cbvrexvw |
|- ( E. y e. U X = ( u .+ y ) <-> E. v e. U X = ( u .+ v ) ) |
36 |
32 35
|
bitrdi |
|- ( x = u -> ( E. y e. U X = ( x .+ y ) <-> E. v e. U X = ( u .+ v ) ) ) |
37 |
36
|
reu4 |
|- ( E! x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) <-> ( E. x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) /\ A. x e. T A. u e. T ( ( E. y e. U X = ( x .+ y ) /\ E. v e. U X = ( u .+ v ) ) -> x = u ) ) ) |
38 |
11 29 37
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ X e. ( T .(+) U ) ) -> E! x e. T E. y e. U X = ( x .+ y ) ) |