Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pjhmop.1 |
|- H e. CH |
2 |
1
|
pjfi |
|- ( projh ` H ) : ~H --> ~H |
3 |
|
nmopval |
|- ( ( projh ` H ) : ~H --> ~H -> ( normop ` ( projh ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) ) |
4 |
2 3
|
ax-mp |
|- ( normop ` ( projh ` H ) ) = sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) |
5 |
|
vex |
|- z e. _V |
6 |
|
eqeq1 |
|- ( x = z -> ( x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <-> z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) |
7 |
6
|
anbi2d |
|- ( x = z -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) ) |
8 |
7
|
rexbidv |
|- ( x = z -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) ) |
9 |
5 8
|
elab |
|- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) |
10 |
|
pjnorm |
|- ( ( H e. CH /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) ) |
11 |
1 10
|
mpan |
|- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) ) |
12 |
1
|
pjhcli |
|- ( y e. ~H -> ( ( projh ` H ) ` y ) e. ~H ) |
13 |
|
normcl |
|- ( ( ( projh ` H ) ` y ) e. ~H -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) e. RR ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( y e. ~H -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) e. RR ) |
15 |
|
normcl |
|- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR ) |
16 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
17 |
|
letr |
|- ( ( ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) ) |
18 |
16 17
|
mp3an3 |
|- ( ( ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) ) |
19 |
14 15 18
|
syl2anc |
|- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ ( normh ` y ) /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) ) |
20 |
11 19
|
mpand |
|- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) <_ 1 -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) ) |
21 |
20
|
imp |
|- ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) |
22 |
|
breq1 |
|- ( z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ 1 ) ) |
23 |
22
|
biimparc |
|- ( ( ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) |
24 |
21 23
|
sylan |
|- ( ( ( y e. ~H /\ ( normh ` y ) <_ 1 ) /\ z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) |
25 |
24
|
expl |
|- ( y e. ~H -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) ) |
26 |
25
|
rexlimiv |
|- ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ z = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) -> z <_ 1 ) |
27 |
9 26
|
sylbi |
|- ( z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } -> z <_ 1 ) |
28 |
27
|
rgen |
|- A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 |
29 |
1
|
cheli |
|- ( y e. H -> y e. ~H ) |
30 |
29
|
adantr |
|- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> y e. ~H ) |
31 |
29 15
|
syl |
|- ( y e. H -> ( normh ` y ) e. RR ) |
32 |
|
eqle |
|- ( ( ( normh ` y ) e. RR /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 ) |
33 |
31 32
|
sylan |
|- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) <_ 1 ) |
34 |
|
pjid |
|- ( ( H e. CH /\ y e. H ) -> ( ( projh ` H ) ` y ) = y ) |
35 |
1 34
|
mpan |
|- ( y e. H -> ( ( projh ` H ) ` y ) = y ) |
36 |
35
|
fveq2d |
|- ( y e. H -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) = ( normh ` y ) ) |
38 |
|
simpr |
|- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( normh ` y ) = 1 ) |
39 |
37 38
|
eqtr2d |
|- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> 1 = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) |
40 |
30 33 39
|
jca32 |
|- ( ( y e. H /\ ( normh ` y ) = 1 ) -> ( y e. ~H /\ ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) ) |
41 |
40
|
reximi2 |
|- ( E. y e. H ( normh ` y ) = 1 -> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) |
42 |
1
|
chne0i |
|- ( H =/= 0H <-> E. y e. H y =/= 0h ) |
43 |
1
|
chshii |
|- H e. SH |
44 |
43
|
norm1exi |
|- ( E. y e. H y =/= 0h <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 ) |
45 |
42 44
|
bitri |
|- ( H =/= 0H <-> E. y e. H ( normh ` y ) = 1 ) |
46 |
|
1ex |
|- 1 e. _V |
47 |
|
eqeq1 |
|- ( x = 1 -> ( x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) <-> 1 = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) |
48 |
47
|
anbi2d |
|- ( x = 1 -> ( ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) <-> ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) ) |
49 |
48
|
rexbidv |
|- ( x = 1 -> ( E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) ) |
50 |
46 49
|
elab |
|- ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } <-> E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ 1 = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) ) |
51 |
41 45 50
|
3imtr4i |
|- ( H =/= 0H -> 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } ) |
52 |
|
breq2 |
|- ( w = 1 -> ( z < w <-> z < 1 ) ) |
53 |
52
|
rspcev |
|- ( ( 1 e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) |
54 |
51 53
|
sylan |
|- ( ( H =/= 0H /\ z < 1 ) -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) |
55 |
54
|
ex |
|- ( H =/= 0H -> ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) |
56 |
55
|
ralrimivw |
|- ( H =/= 0H -> A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) |
57 |
|
nmopsetretHIL |
|- ( ( projh ` H ) : ~H --> ~H -> { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR ) |
58 |
2 57
|
ax-mp |
|- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR |
59 |
|
ressxr |
|- RR C_ RR* |
60 |
58 59
|
sstri |
|- { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR* |
61 |
|
1xr |
|- 1 e. RR* |
62 |
|
supxr2 |
|- ( ( ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } C_ RR* /\ 1 e. RR* ) /\ ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 ) |
63 |
60 61 62
|
mpanl12 |
|- ( ( A. z e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z <_ 1 /\ A. z e. RR ( z < 1 -> E. w e. { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } z < w ) ) -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 ) |
64 |
28 56 63
|
sylancr |
|- ( H =/= 0H -> sup ( { x | E. y e. ~H ( ( normh ` y ) <_ 1 /\ x = ( normh ` ( ( projh ` H ) ` y ) ) ) } , RR* , < ) = 1 ) |
65 |
4 64
|
syl5eq |
|- ( H =/= 0H -> ( normop ` ( projh ` H ) ) = 1 ) |