Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
2 |
|
eleq1 |
|- ( A = (/) -> ( A e. _V <-> (/) e. _V ) ) |
3 |
1 2
|
mpbiri |
|- ( A = (/) -> A e. _V ) |
4 |
|
rabexg |
|- ( A e. _V -> { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( A = (/) -> { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V ) |
6 |
|
neq0 |
|- ( -. A = (/) <-> E. y y e. A ) |
7 |
|
nfra1 |
|- F/ y A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) |
8 |
|
nfcv |
|- F/_ y A |
9 |
7 8
|
nfrabw |
|- F/_ y { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } |
10 |
9
|
nfel1 |
|- F/ y { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V |
11 |
|
rsp |
|- ( A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) -> ( y e. A -> ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
12 |
11
|
com12 |
|- ( y e. A -> ( A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) -> ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
13 |
12
|
ralrimivw |
|- ( y e. A -> A. x e. A ( A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) -> ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
14 |
|
ss2rab |
|- ( { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } C_ { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } <-> A. x e. A ( A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) -> ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
15 |
13 14
|
sylibr |
|- ( y e. A -> { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } C_ { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ) |
16 |
|
rankon |
|- ( rank ` y ) e. On |
17 |
|
fveq2 |
|- ( x = w -> ( rank ` x ) = ( rank ` w ) ) |
18 |
17
|
sseq1d |
|- ( x = w -> ( ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) <-> ( rank ` w ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
19 |
18
|
elrab |
|- ( w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } <-> ( w e. A /\ ( rank ` w ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
20 |
19
|
simprbi |
|- ( w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } -> ( rank ` w ) C_ ( rank ` y ) ) |
21 |
20
|
rgen |
|- A. w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ( rank ` w ) C_ ( rank ` y ) |
22 |
|
sseq2 |
|- ( z = ( rank ` y ) -> ( ( rank ` w ) C_ z <-> ( rank ` w ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
23 |
22
|
ralbidv |
|- ( z = ( rank ` y ) -> ( A. w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ( rank ` w ) C_ z <-> A. w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ( rank ` w ) C_ ( rank ` y ) ) ) |
24 |
23
|
rspcev |
|- ( ( ( rank ` y ) e. On /\ A. w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ( rank ` w ) C_ ( rank ` y ) ) -> E. z e. On A. w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ( rank ` w ) C_ z ) |
25 |
16 21 24
|
mp2an |
|- E. z e. On A. w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ( rank ` w ) C_ z |
26 |
|
bndrank |
|- ( E. z e. On A. w e. { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } ( rank ` w ) C_ z -> { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V ) |
27 |
25 26
|
ax-mp |
|- { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V |
28 |
27
|
ssex |
|- ( { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } C_ { x e. A | ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } -> { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V ) |
29 |
15 28
|
syl |
|- ( y e. A -> { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V ) |
30 |
10 29
|
exlimi |
|- ( E. y y e. A -> { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V ) |
31 |
6 30
|
sylbi |
|- ( -. A = (/) -> { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V ) |
32 |
5 31
|
pm2.61i |
|- { x e. A | A. y e. A ( rank ` x ) C_ ( rank ` y ) } e. _V |