Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sge0lefi.1 |
|- ( ph -> X e. V ) |
2 |
|
sge0lefi.2 |
|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) ) |
3 |
|
sge0lefi.3 |
|- ( ph -> A e. RR* ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P X i^i Fin ) ) |
5 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) ) |
6 |
|
elpwinss |
|- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x C_ X ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x C_ X ) |
8 |
5 7
|
fssresd |
|- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x --> ( 0 [,] +oo ) ) |
9 |
4 8
|
sge0xrcl |
|- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( F |` x ) ) e. RR* ) |
10 |
9
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( sum^ ` F ) <_ A ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( F |` x ) ) e. RR* ) |
11 |
1 2
|
sge0xrcl |
|- ( ph -> ( sum^ ` F ) e. RR* ) |
12 |
11
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( sum^ ` F ) <_ A ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` F ) e. RR* ) |
13 |
3
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( sum^ ` F ) <_ A ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> A e. RR* ) |
14 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> X e. V ) |
15 |
14 5
|
sge0less |
|- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ ( sum^ ` F ) ) |
16 |
15
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ ( sum^ ` F ) <_ A ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ ( sum^ ` F ) ) |
17 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ ( sum^ ` F ) <_ A ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` F ) <_ A ) |
18 |
10 12 13 16 17
|
xrletrd |
|- ( ( ( ph /\ ( sum^ ` F ) <_ A ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) |
19 |
18
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ ( sum^ ` F ) <_ A ) -> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) |
20 |
19
|
ex |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` F ) <_ A -> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) ) |
21 |
1 2
|
sge0sup |
|- ( ph -> ( sum^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) , RR* , < ) ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> ( sum^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) , RR* , < ) ) |
23 |
|
vex |
|- y e. _V |
24 |
|
eqid |
|- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) = ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
25 |
24
|
elrnmpt |
|- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) ) |
26 |
23 25
|
ax-mp |
|- ( y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
27 |
26
|
biimpi |
|- ( y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
28 |
27
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
29 |
|
nfv |
|- F/ x ph |
30 |
|
nfra1 |
|- F/ x A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A |
31 |
29 30
|
nfan |
|- F/ x ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) |
32 |
|
nfcv |
|- F/_ x y |
33 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ x ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
34 |
33
|
nfrn |
|- F/_ x ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
35 |
32 34
|
nfel |
|- F/ x y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
36 |
31 35
|
nfan |
|- F/ x ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) ) |
37 |
|
nfv |
|- F/ x y <_ A |
38 |
|
simp3 |
|- ( ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) -> y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) |
39 |
|
rspa |
|- ( ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) |
40 |
39
|
3adant3 |
|- ( ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) -> ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) |
41 |
38 40
|
eqbrtrd |
|- ( ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) -> y <_ A ) |
42 |
41
|
3adant1l |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) /\ y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) -> y <_ A ) |
43 |
42
|
3exp |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> ( y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) -> y <_ A ) ) ) |
44 |
43
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) ) -> ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> ( y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) -> y <_ A ) ) ) |
45 |
36 37 44
|
rexlimd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) ) -> ( E. x e. ( ~P X i^i Fin ) y = ( sum^ ` ( F |` x ) ) -> y <_ A ) ) |
46 |
28 45
|
mpd |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) /\ y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) ) -> y <_ A ) |
47 |
46
|
ralrimiva |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> A. y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) y <_ A ) |
48 |
9
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) e. RR* ) |
49 |
24
|
rnmptss |
|- ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) e. RR* -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) C_ RR* ) |
50 |
48 49
|
syl |
|- ( ph -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) C_ RR* ) |
51 |
50
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) C_ RR* ) |
52 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> A e. RR* ) |
53 |
|
supxrleub |
|- ( ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) C_ RR* /\ A e. RR* ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) , RR* , < ) <_ A <-> A. y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) y <_ A ) ) |
54 |
51 52 53
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) , RR* , < ) <_ A <-> A. y e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) y <_ A ) ) |
55 |
47 54
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> ( sum^ ` ( F |` x ) ) ) , RR* , < ) <_ A ) |
56 |
22 55
|
eqbrtrd |
|- ( ( ph /\ A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) -> ( sum^ ` F ) <_ A ) |
57 |
56
|
ex |
|- ( ph -> ( A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A -> ( sum^ ` F ) <_ A ) ) |
58 |
20 57
|
impbid |
|- ( ph -> ( ( sum^ ` F ) <_ A <-> A. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sum^ ` ( F |` x ) ) <_ A ) ) |