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Theorem sge0lefi

Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses sge0lefi.1 φ X V
sge0lefi.2 φ F : X 0 +∞
sge0lefi.3 φ A *
Assertion sge0lefi φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F x A

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sge0lefi.1 φ X V
2 sge0lefi.2 φ F : X 0 +∞
3 sge0lefi.3 φ A *
4 simpr φ x 𝒫 X Fin x 𝒫 X Fin
5 2 adantr φ x 𝒫 X Fin F : X 0 +∞
6 elpwinss x 𝒫 X Fin x X
7 6 adantl φ x 𝒫 X Fin x X
8 5 7 fssresd φ x 𝒫 X Fin F x : x 0 +∞
9 4 8 sge0xrcl φ x 𝒫 X Fin sum^ F x *
10 9 adantlr φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F x *
11 1 2 sge0xrcl φ sum^ F *
12 11 ad2antrr φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F *
13 3 ad2antrr φ sum^ F A x 𝒫 X Fin A *
14 1 adantr φ x 𝒫 X Fin X V
15 14 5 sge0less φ x 𝒫 X Fin sum^ F x sum^ F
16 15 adantlr φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F x sum^ F
17 simplr φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F A
18 10 12 13 16 17 xrletrd φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F x A
19 18 ralrimiva φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F x A
20 19 ex φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F x A
21 1 2 sge0sup φ sum^ F = sup ran x 𝒫 X Fin sum^ F x * <
22 21 adantr φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A sum^ F = sup ran x 𝒫 X Fin sum^ F x * <
23 vex y V
24 eqid x 𝒫 X Fin sum^ F x = x 𝒫 X Fin sum^ F x
25 24 elrnmpt y V y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x x 𝒫 X Fin y = sum^ F x
26 23 25 ax-mp y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x x 𝒫 X Fin y = sum^ F x
27 26 biimpi y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x x 𝒫 X Fin y = sum^ F x
28 27 adantl φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x x 𝒫 X Fin y = sum^ F x
29 nfv x φ
30 nfra1 x x 𝒫 X Fin sum^ F x A
31 29 30 nfan x φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A
32 nfcv _ x y
33 nfmpt1 _ x x 𝒫 X Fin sum^ F x
34 33 nfrn _ x ran x 𝒫 X Fin sum^ F x
35 32 34 nfel x y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x
36 31 35 nfan x φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x
37 nfv x y A
38 simp3 x 𝒫 X Fin sum^ F x A x 𝒫 X Fin y = sum^ F x y = sum^ F x
39 rspa x 𝒫 X Fin sum^ F x A x 𝒫 X Fin sum^ F x A
40 39 3adant3 x 𝒫 X Fin sum^ F x A x 𝒫 X Fin y = sum^ F x sum^ F x A
41 38 40 eqbrtrd x 𝒫 X Fin sum^ F x A x 𝒫 X Fin y = sum^ F x y A
42 41 3adant1l φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A x 𝒫 X Fin y = sum^ F x y A
43 42 3exp φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A x 𝒫 X Fin y = sum^ F x y A
44 43 adantr φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x x 𝒫 X Fin y = sum^ F x y A
45 36 37 44 rexlimd φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x x 𝒫 X Fin y = sum^ F x y A
46 28 45 mpd φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x y A
47 46 ralrimiva φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x y A
48 9 ralrimiva φ x 𝒫 X Fin sum^ F x *
49 24 rnmptss x 𝒫 X Fin sum^ F x * ran x 𝒫 X Fin sum^ F x *
50 48 49 syl φ ran x 𝒫 X Fin sum^ F x *
51 50 adantr φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A ran x 𝒫 X Fin sum^ F x *
52 3 adantr φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A A *
53 supxrleub ran x 𝒫 X Fin sum^ F x * A * sup ran x 𝒫 X Fin sum^ F x * < A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x y A
54 51 52 53 syl2anc φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A sup ran x 𝒫 X Fin sum^ F x * < A y ran x 𝒫 X Fin sum^ F x y A
55 47 54 mpbird φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A sup ran x 𝒫 X Fin sum^ F x * < A
56 22 55 eqbrtrd φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A sum^ F A
57 56 ex φ x 𝒫 X Fin sum^ F x A sum^ F A
58 20 57 impbid φ sum^ F A x 𝒫 X Fin sum^ F x A