Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sge0ltfirpmpt2.xph |
|- F/ x ph |
2 |
|
sge0ltfirpmpt2.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
3 |
|
sge0ltfirpmpt2.b |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) |
4 |
|
sge0ltfirpmpt2.rp |
|- ( ph -> Y e. RR+ ) |
5 |
|
sge0ltfirpmpt2.re |
|- ( ph -> ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR ) |
6 |
|
eqid |
|- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) |
7 |
1 3 6
|
fmptdf |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) ) |
8 |
2 7 4 5
|
sge0ltfirp |
|- ( ph -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) |
9 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) -> ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) |
10 |
|
elpwinss |
|- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A ) |
11 |
10
|
resmptd |
|- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( x e. A |-> B ) |` y ) = ( x e. y |-> B ) ) |
12 |
11
|
fveq2d |
|- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) = ( sum^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) |
13 |
12
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) = ( sum^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) |
14 |
|
elinel2 |
|- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin ) |
15 |
14
|
adantl |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin ) |
16 |
|
nfv |
|- F/ x y e. ( ~P A i^i Fin ) |
17 |
1 16
|
nfan |
|- F/ x ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) |
18 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> ph ) |
19 |
10
|
sselda |
|- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ x e. y ) -> x e. A ) |
20 |
19
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> x e. A ) |
21 |
1 2 3 5
|
sge0rernmpt |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) |
22 |
18 20 21
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) |
23 |
|
eqid |
|- ( x e. y |-> B ) = ( x e. y |-> B ) |
24 |
17 22 23
|
fmptdf |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x e. y |-> B ) : y --> ( 0 [,) +oo ) ) |
25 |
15 24
|
sge0fsum |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( x e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y ( ( x e. y |-> B ) ` k ) ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. y ) |
27 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ph ) |
28 |
10
|
sselda |
|- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. A ) |
29 |
28
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. A ) |
30 |
|
nfv |
|- F/ x k e. A |
31 |
1 30
|
nfan |
|- F/ x ( ph /\ k e. A ) |
32 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ x [_ k / x ]_ B |
33 |
32
|
nfel1 |
|- F/ x [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) |
34 |
31 33
|
nfim |
|- F/ x ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) |
35 |
|
eleq1w |
|- ( x = k -> ( x e. A <-> k e. A ) ) |
36 |
35
|
anbi2d |
|- ( x = k -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ k e. A ) ) ) |
37 |
|
csbeq1a |
|- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B ) |
38 |
37
|
eleq1d |
|- ( x = k -> ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) |
39 |
36 38
|
imbi12d |
|- ( x = k -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) ) |
40 |
34 39 21
|
chvarfv |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) |
41 |
27 29 40
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) |
42 |
|
nfcv |
|- F/_ k B |
43 |
42 32 37
|
cbvmpt |
|- ( x e. y |-> B ) = ( k e. y |-> [_ k / x ]_ B ) |
44 |
43
|
fvmpt2 |
|- ( ( k e. y /\ [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = [_ k / x ]_ B ) |
45 |
26 41 44
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = [_ k / x ]_ B ) |
46 |
45
|
sumeq2dv |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = sum_ k e. y [_ k / x ]_ B ) |
47 |
|
eqcom |
|- ( x = k <-> k = x ) |
48 |
47
|
imbi1i |
|- ( ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B ) <-> ( k = x -> B = [_ k / x ]_ B ) ) |
49 |
|
eqcom |
|- ( B = [_ k / x ]_ B <-> [_ k / x ]_ B = B ) |
50 |
49
|
imbi2i |
|- ( ( k = x -> B = [_ k / x ]_ B ) <-> ( k = x -> [_ k / x ]_ B = B ) ) |
51 |
48 50
|
bitri |
|- ( ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B ) <-> ( k = x -> [_ k / x ]_ B = B ) ) |
52 |
37 51
|
mpbi |
|- ( k = x -> [_ k / x ]_ B = B ) |
53 |
|
nfcv |
|- F/_ x y |
54 |
|
nfcv |
|- F/_ k y |
55 |
52 53 54 32 42
|
cbvsum |
|- sum_ k e. y [_ k / x ]_ B = sum_ x e. y B |
56 |
55
|
a1i |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y [_ k / x ]_ B = sum_ x e. y B ) |
57 |
46 56
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = sum_ x e. y B ) |
58 |
13 25 57
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) = sum_ x e. y B ) |
59 |
58
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) = ( sum_ x e. y B + Y ) ) |
60 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) -> ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) = ( sum_ x e. y B + Y ) ) |
61 |
9 60
|
breqtrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) -> ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) ) |
62 |
61
|
ex |
|- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) -> ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) ) ) |
63 |
62
|
reximdva |
|- ( ph -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( ( sum^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) ) ) |
64 |
8 63
|
mpd |
|- ( ph -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( sum^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) ) |