Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
n0 |
|- ( ( A i^i B ) =/= (/) <-> E. x x e. ( A i^i B ) ) |
2 |
|
uniiun |
|- U. { A , B } = U_ k e. { A , B } k |
3 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
4 |
|
toponmax |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> X e. J ) |
5 |
3 4
|
syl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> X e. J ) |
6 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> A C_ X ) |
7 |
5 6
|
ssexd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> A e. _V ) |
8 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> B C_ X ) |
9 |
5 8
|
ssexd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> B e. _V ) |
10 |
|
uniprg |
|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) ) |
11 |
7 9 10
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> U. { A , B } = ( A u. B ) ) |
12 |
2 11
|
eqtr3id |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> U_ k e. { A , B } k = ( A u. B ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> ( J |`t U_ k e. { A , B } k ) = ( J |`t ( A u. B ) ) ) |
14 |
|
vex |
|- k e. _V |
15 |
14
|
elpr |
|- ( k e. { A , B } <-> ( k = A \/ k = B ) ) |
16 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> ( A C_ X /\ B C_ X ) ) |
17 |
|
sseq1 |
|- ( k = A -> ( k C_ X <-> A C_ X ) ) |
18 |
17
|
biimprd |
|- ( k = A -> ( A C_ X -> k C_ X ) ) |
19 |
|
sseq1 |
|- ( k = B -> ( k C_ X <-> B C_ X ) ) |
20 |
19
|
biimprd |
|- ( k = B -> ( B C_ X -> k C_ X ) ) |
21 |
18 20
|
jaoa |
|- ( ( k = A \/ k = B ) -> ( ( A C_ X /\ B C_ X ) -> k C_ X ) ) |
22 |
16 21
|
mpan9 |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) /\ ( k = A \/ k = B ) ) -> k C_ X ) |
23 |
15 22
|
sylan2b |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) /\ k e. { A , B } ) -> k C_ X ) |
24 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> x e. ( A i^i B ) ) |
25 |
|
elin |
|- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) |
26 |
24 25
|
sylib |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> ( x e. A /\ x e. B ) ) |
27 |
|
eleq2 |
|- ( k = A -> ( x e. k <-> x e. A ) ) |
28 |
27
|
biimprd |
|- ( k = A -> ( x e. A -> x e. k ) ) |
29 |
|
eleq2 |
|- ( k = B -> ( x e. k <-> x e. B ) ) |
30 |
29
|
biimprd |
|- ( k = B -> ( x e. B -> x e. k ) ) |
31 |
28 30
|
jaoa |
|- ( ( k = A \/ k = B ) -> ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. k ) ) |
32 |
26 31
|
mpan9 |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) /\ ( k = A \/ k = B ) ) -> x e. k ) |
33 |
15 32
|
sylan2b |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) /\ k e. { A , B } ) -> x e. k ) |
34 |
|
simpr |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) |
35 |
|
oveq2 |
|- ( k = A -> ( J |`t k ) = ( J |`t A ) ) |
36 |
35
|
eleq1d |
|- ( k = A -> ( ( J |`t k ) e. Conn <-> ( J |`t A ) e. Conn ) ) |
37 |
36
|
biimprd |
|- ( k = A -> ( ( J |`t A ) e. Conn -> ( J |`t k ) e. Conn ) ) |
38 |
|
oveq2 |
|- ( k = B -> ( J |`t k ) = ( J |`t B ) ) |
39 |
38
|
eleq1d |
|- ( k = B -> ( ( J |`t k ) e. Conn <-> ( J |`t B ) e. Conn ) ) |
40 |
39
|
biimprd |
|- ( k = B -> ( ( J |`t B ) e. Conn -> ( J |`t k ) e. Conn ) ) |
41 |
37 40
|
jaoa |
|- ( ( k = A \/ k = B ) -> ( ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) -> ( J |`t k ) e. Conn ) ) |
42 |
34 41
|
mpan9 |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) /\ ( k = A \/ k = B ) ) -> ( J |`t k ) e. Conn ) |
43 |
15 42
|
sylan2b |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) /\ k e. { A , B } ) -> ( J |`t k ) e. Conn ) |
44 |
3 23 33 43
|
iunconn |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> ( J |`t U_ k e. { A , B } k ) e. Conn ) |
45 |
13 44
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) /\ ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) ) -> ( J |`t ( A u. B ) ) e. Conn ) |
46 |
45
|
ex |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ x e. ( A i^i B ) ) -> ( ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) -> ( J |`t ( A u. B ) ) e. Conn ) ) |
47 |
46
|
3expia |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) ) -> ( x e. ( A i^i B ) -> ( ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) -> ( J |`t ( A u. B ) ) e. Conn ) ) ) |
48 |
47
|
exlimdv |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) ) -> ( E. x x e. ( A i^i B ) -> ( ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) -> ( J |`t ( A u. B ) ) e. Conn ) ) ) |
49 |
1 48
|
syl5bi |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) ) -> ( ( A i^i B ) =/= (/) -> ( ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) -> ( J |`t ( A u. B ) ) e. Conn ) ) ) |
50 |
49
|
3impia |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ ( A C_ X /\ B C_ X ) /\ ( A i^i B ) =/= (/) ) -> ( ( ( J |`t A ) e. Conn /\ ( J |`t B ) e. Conn ) -> ( J |`t ( A u. B ) ) e. Conn ) ) |