Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
2 |
|
uniiun |
⊢ ∪ { 𝐴 , 𝐵 } = ∪ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } 𝑘 |
3 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
4 |
|
toponmax |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
5 |
3 4
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → 𝑋 ∈ 𝐽 ) |
6 |
|
simpl2l |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → 𝐴 ⊆ 𝑋 ) |
7 |
5 6
|
ssexd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → 𝐴 ∈ V ) |
8 |
|
simpl2r |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → 𝐵 ⊆ 𝑋 ) |
9 |
5 8
|
ssexd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → 𝐵 ∈ V ) |
10 |
|
uniprg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ) → ∪ { 𝐴 , 𝐵 } = ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) |
11 |
7 9 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ∪ { 𝐴 , 𝐵 } = ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) |
12 |
2 11
|
eqtr3id |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ∪ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } 𝑘 = ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ( 𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } 𝑘 ) = ( 𝐽 ↾t ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ) |
14 |
|
vex |
⊢ 𝑘 ∈ V |
15 |
14
|
elpr |
⊢ ( 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ↔ ( 𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ) ) |
16 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ) |
17 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( 𝑘 ⊆ 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) ) |
18 |
17
|
biimprd |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( 𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝑘 ⊆ 𝑋 ) ) |
19 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( 𝑘 ⊆ 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ) |
20 |
19
|
biimprd |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( 𝐵 ⊆ 𝑋 → 𝑘 ⊆ 𝑋 ) ) |
21 |
18 20
|
jaoa |
⊢ ( ( 𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ) → ( ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) → 𝑘 ⊆ 𝑋 ) ) |
22 |
16 21
|
mpan9 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) ∧ ( 𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ) ) → 𝑘 ⊆ 𝑋 ) |
23 |
15 22
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ) → 𝑘 ⊆ 𝑋 ) |
24 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
25 |
|
elin |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
26 |
24 25
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
27 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( 𝑥 ∈ 𝑘 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ) |
28 |
27
|
biimprd |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑘 ) ) |
29 |
|
eleq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝑘 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
30 |
29
|
biimprd |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑘 ) ) |
31 |
28 30
|
jaoa |
⊢ ( ( 𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝑘 ) ) |
32 |
26 31
|
mpan9 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) ∧ ( 𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑘 ) |
33 |
15 32
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ) → 𝑥 ∈ 𝑘 ) |
34 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) |
35 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) = ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ) |
36 |
35
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Conn ↔ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ) |
37 |
36
|
biimprd |
⊢ ( 𝑘 = 𝐴 → ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Conn ) ) |
38 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) = ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ) |
39 |
38
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Conn ↔ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) |
40 |
39
|
biimprd |
⊢ ( 𝑘 = 𝐵 → ( ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Conn ) ) |
41 |
37 40
|
jaoa |
⊢ ( ( 𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ) → ( ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Conn ) ) |
42 |
34 41
|
mpan9 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) ∧ ( 𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵 ) ) → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Conn ) |
43 |
15 42
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) ∧ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } ) → ( 𝐽 ↾t 𝑘 ) ∈ Conn ) |
44 |
3 23 33 43
|
iunconn |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ( 𝐽 ↾t ∪ 𝑘 ∈ { 𝐴 , 𝐵 } 𝑘 ) ∈ Conn ) |
45 |
13 44
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) ) → ( 𝐽 ↾t ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ∈ Conn ) |
46 |
45
|
ex |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ∈ Conn ) ) |
47 |
46
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ∈ Conn ) ) ) |
48 |
47
|
exlimdv |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ) → ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ∈ Conn ) ) ) |
49 |
1 48
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ≠ ∅ → ( ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ∈ Conn ) ) ) |
50 |
49
|
3impia |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ≠ ∅ ) → ( ( ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐵 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t ( 𝐴 ∪ 𝐵 ) ) ∈ Conn ) ) |