Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- ( Vtx ` G ) = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Edg ` G ) = ( Edg ` G ) |
3 |
1 2
|
iswwlks |
|- ( W e. ( WWalks ` G ) <-> ( W =/= (/) /\ W e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
4 |
|
lencl |
|- ( W e. Word ( Vtx ` G ) -> ( # ` W ) e. NN0 ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. NN0 ) |
6 |
|
1red |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> 1 e. RR ) |
7 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
8 |
7
|
a1i |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> 2 e. RR ) |
9 |
|
nn0re |
|- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( # ` W ) e. RR ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. RR ) |
11 |
|
1le2 |
|- 1 <_ 2 |
12 |
11
|
a1i |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> 1 <_ 2 ) |
13 |
|
simpr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> 2 <_ ( # ` W ) ) |
14 |
6 8 10 12 13
|
letrd |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> 1 <_ ( # ` W ) ) |
15 |
5 14
|
jca |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 1 <_ ( # ` W ) ) ) |
16 |
|
elnnnn0c |
|- ( ( # ` W ) e. NN <-> ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 1 <_ ( # ` W ) ) ) |
17 |
15 16
|
sylibr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. NN ) |
18 |
|
lbfzo0 |
|- ( 0 e. ( 0 ..^ ( # ` W ) ) <-> ( # ` W ) e. NN ) |
19 |
17 18
|
sylibr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> 0 e. ( 0 ..^ ( # ` W ) ) ) |
20 |
|
nn0ge2m1nn |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN ) |
21 |
|
lbfzo0 |
|- ( 0 e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) <-> ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN ) |
22 |
20 21
|
sylibr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> 0 e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
23 |
19 22
|
jca |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( 0 e. ( 0 ..^ ( # ` W ) ) /\ 0 e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) ) |
24 |
4 23
|
sylan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( 0 e. ( 0 ..^ ( # ` W ) ) /\ 0 e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) ) |
25 |
|
inelcm |
|- ( ( 0 e. ( 0 ..^ ( # ` W ) ) /\ 0 e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( ( 0 ..^ ( # ` W ) ) i^i ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) =/= (/) ) |
26 |
24 25
|
syl |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( 0 ..^ ( # ` W ) ) i^i ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) =/= (/) ) |
27 |
|
wrdfn |
|- ( W e. Word ( Vtx ` G ) -> W Fn ( 0 ..^ ( # ` W ) ) ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> W Fn ( 0 ..^ ( # ` W ) ) ) |
29 |
|
fnresdisj |
|- ( W Fn ( 0 ..^ ( # ` W ) ) -> ( ( ( 0 ..^ ( # ` W ) ) i^i ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) <-> ( W |` ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) ) ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( 0 ..^ ( # ` W ) ) i^i ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) <-> ( W |` ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) ) ) |
31 |
|
nn0ge2m1nn0 |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 ) |
32 |
10
|
lem1d |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) |
33 |
31 5 32
|
3jca |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN0 /\ ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) |
34 |
4 33
|
sylan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN0 /\ ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) |
35 |
|
elfz2nn0 |
|- ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) <-> ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN0 /\ ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) |
36 |
34 35
|
sylibr |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) |
37 |
|
pfxres |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) = ( W |` ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) ) |
38 |
37
|
eqeq1d |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) = (/) <-> ( W |` ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) ) ) |
39 |
38
|
bicomd |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( W |` ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) <-> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) = (/) ) ) |
40 |
36 39
|
syldan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( W |` ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) <-> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) = (/) ) ) |
41 |
30 40
|
bitr2d |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) = (/) <-> ( ( 0 ..^ ( # ` W ) ) i^i ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = (/) ) ) |
42 |
41
|
necon3bid |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) =/= (/) <-> ( ( 0 ..^ ( # ` W ) ) i^i ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) =/= (/) ) ) |
43 |
26 42
|
mpbird |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) =/= (/) ) |
44 |
43
|
3ad2antl2 |
|- ( ( ( W =/= (/) /\ W e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) =/= (/) ) |
45 |
|
pfxcl |
|- ( W e. Word ( Vtx ` G ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. Word ( Vtx ` G ) ) |
46 |
45
|
a1d |
|- ( W e. Word ( Vtx ` G ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. Word ( Vtx ` G ) ) ) |
47 |
46
|
3ad2ant2 |
|- ( ( W =/= (/) /\ W e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. Word ( Vtx ` G ) ) ) |
48 |
47
|
imp |
|- ( ( ( W =/= (/) /\ W e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. Word ( Vtx ` G ) ) |
49 |
|
nn0z |
|- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( # ` W ) e. ZZ ) |
50 |
|
peano2zm |
|- ( ( # ` W ) e. ZZ -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ ) |
51 |
49 50
|
syl |
|- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ ) |
52 |
|
peano2zm |
|- ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) e. ZZ ) |
53 |
51 52
|
syl |
|- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) e. ZZ ) |
54 |
53
|
adantr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) e. ZZ ) |
55 |
51
|
adantr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ ) |
56 |
|
peano2rem |
|- ( ( # ` W ) e. RR -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. RR ) |
57 |
9 56
|
syl |
|- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. RR ) |
58 |
57
|
lem1d |
|- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) <_ ( ( # ` W ) - 1 ) ) |
59 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) <_ ( ( # ` W ) - 1 ) ) |
60 |
54 55 59
|
3jca |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) <_ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
61 |
4 60
|
sylan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) <_ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
62 |
|
eluz2 |
|- ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) <_ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
63 |
61 62
|
sylibr |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) |
64 |
9
|
lem1d |
|- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) |
65 |
64
|
adantr |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) |
66 |
31 5 65
|
3jca |
|- ( ( ( # ` W ) e. NN0 /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN0 /\ ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) |
67 |
4 66
|
sylan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN0 /\ ( ( # ` W ) - 1 ) <_ ( # ` W ) ) ) |
68 |
67 35
|
sylibr |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) |
69 |
|
pfxlen |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) |
70 |
69
|
oveq1d |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) |
71 |
68 70
|
syldan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) |
72 |
71
|
fveq2d |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ZZ>= ` ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) |
73 |
63 72
|
eleqtrrd |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) ) |
74 |
|
fzoss2 |
|- ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) -> ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
75 |
73 74
|
syl |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
76 |
|
ssralv |
|- ( ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) -> ( A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
77 |
75 76
|
syl |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
78 |
68 69
|
syldan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) = ( ( # ` W ) - 1 ) ) |
79 |
78
|
oveq1d |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) |
80 |
79
|
oveq2d |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) |
81 |
80
|
eleq2d |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) <-> x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) ) |
82 |
|
simpl |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> W e. Word ( Vtx ` G ) ) |
83 |
82
|
adantr |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> W e. Word ( Vtx ` G ) ) |
84 |
36
|
adantr |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) |
85 |
4 31
|
sylan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 ) |
86 |
|
nn0z |
|- ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ ) |
87 |
|
fzossrbm1 |
|- ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. ZZ -> ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
88 |
86 87
|
syl |
|- ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN0 -> ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
89 |
85 88
|
syl |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) C_ ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
90 |
89
|
sselda |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
91 |
|
pfxfv |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) = ( W ` x ) ) |
92 |
83 84 90 91
|
syl3anc |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) = ( W ` x ) ) |
93 |
92
|
eqcomd |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> ( W ` x ) = ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) ) |
94 |
4 20
|
sylan |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN ) |
95 |
|
elfzom1p1elfzo |
|- ( ( ( ( # ` W ) - 1 ) e. NN /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
96 |
94 95
|
sylan |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> ( x + 1 ) e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) |
97 |
|
pfxfv |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ ( ( # ` W ) - 1 ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( x + 1 ) e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) -> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) = ( W ` ( x + 1 ) ) ) |
98 |
83 84 96 97
|
syl3anc |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) = ( W ` ( x + 1 ) ) ) |
99 |
98
|
eqcomd |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> ( W ` ( x + 1 ) ) = ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) ) |
100 |
93 99
|
preq12d |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) ) -> { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } = { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } ) |
101 |
100
|
ex |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( ( # ` W ) - 1 ) - 1 ) ) -> { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } = { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } ) ) |
102 |
81 101
|
sylbid |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) -> { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } = { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } ) ) |
103 |
102
|
imp |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) ) -> { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } = { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } ) |
104 |
103
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eleq1d |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) ) -> ( { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) <-> { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
105 |
104
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biimpd |
|- ( ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) /\ x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) ) -> ( { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
106 |
105
|
ralimdva |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
107 |
77 106
|
syld |
|- ( ( W e. Word ( Vtx ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
108 |
107
|
expcom |
|- ( 2 <_ ( # ` W ) -> ( W e. Word ( Vtx ` G ) -> ( A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) ) |
109 |
108
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com3l |
|- ( W e. Word ( Vtx ` G ) -> ( A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) ) |
110 |
109
|
a1i |
|- ( W =/= (/) -> ( W e. Word ( Vtx ` G ) -> ( A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) ) ) |
111 |
110
|
3imp1 |
|- ( ( ( W =/= (/) /\ W e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) |
112 |
1 2
|
iswwlks |
|- ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. ( WWalks ` G ) <-> ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) =/= (/) /\ ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ) - 1 ) ) { ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` x ) , ( ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) ) |
113 |
44 48 111 112
|
syl3anbrc |
|- ( ( ( W =/= (/) /\ W e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. ( WWalks ` G ) ) |
114 |
113
|
ex |
|- ( ( W =/= (/) /\ W e. Word ( Vtx ` G ) /\ A. x e. ( 0 ..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` x ) , ( W ` ( x + 1 ) ) } e. ( Edg ` G ) ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. ( WWalks ` G ) ) ) |
115 |
3 114
|
sylbi |
|- ( W e. ( WWalks ` G ) -> ( 2 <_ ( # ` W ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. ( WWalks ` G ) ) ) |
116 |
115
|
imp |
|- ( ( W e. ( WWalks ` G ) /\ 2 <_ ( # ` W ) ) -> ( W prefix ( ( # ` W ) - 1 ) ) e. ( WWalks ` G ) ) |