Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xkoco2cn.r |
|- ( ph -> R e. Top ) |
2 |
|
xkoco2cn.f |
|- ( ph -> F e. ( S Cn T ) ) |
3 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ g e. ( R Cn S ) ) -> g e. ( R Cn S ) ) |
4 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ g e. ( R Cn S ) ) -> F e. ( S Cn T ) ) |
5 |
|
cnco |
|- ( ( g e. ( R Cn S ) /\ F e. ( S Cn T ) ) -> ( F o. g ) e. ( R Cn T ) ) |
6 |
3 4 5
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( F o. g ) e. ( R Cn T ) ) |
7 |
6
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) : ( R Cn S ) --> ( R Cn T ) ) |
8 |
|
eqid |
|- U. R = U. R |
9 |
|
eqid |
|- { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } = { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } |
10 |
|
eqid |
|- ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) |
11 |
8 9 10
|
xkobval |
|- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ~P U. R E. v e. T ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) } |
12 |
11
|
abeq2i |
|- ( x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R E. v e. T ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) |
13 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> g e. ( R Cn S ) ) |
14 |
2
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> F e. ( S Cn T ) ) |
15 |
13 14 5
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( F o. g ) e. ( R Cn T ) ) |
16 |
|
imaeq1 |
|- ( h = ( F o. g ) -> ( h " k ) = ( ( F o. g ) " k ) ) |
17 |
|
imaco |
|- ( ( F o. g ) " k ) = ( F " ( g " k ) ) |
18 |
16 17
|
eqtrdi |
|- ( h = ( F o. g ) -> ( h " k ) = ( F " ( g " k ) ) ) |
19 |
18
|
sseq1d |
|- ( h = ( F o. g ) -> ( ( h " k ) C_ v <-> ( F " ( g " k ) ) C_ v ) ) |
20 |
19
|
elrab3 |
|- ( ( F o. g ) e. ( R Cn T ) -> ( ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( F " ( g " k ) ) C_ v ) ) |
21 |
15 20
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( F " ( g " k ) ) C_ v ) ) |
22 |
|
eqid |
|- U. S = U. S |
23 |
|
eqid |
|- U. T = U. T |
24 |
22 23
|
cnf |
|- ( F e. ( S Cn T ) -> F : U. S --> U. T ) |
25 |
2 24
|
syl |
|- ( ph -> F : U. S --> U. T ) |
26 |
25
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> F : U. S --> U. T ) |
27 |
26
|
ffund |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> Fun F ) |
28 |
|
imassrn |
|- ( g " k ) C_ ran g |
29 |
8 22
|
cnf |
|- ( g e. ( R Cn S ) -> g : U. R --> U. S ) |
30 |
13 29
|
syl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> g : U. R --> U. S ) |
31 |
30
|
frnd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ran g C_ U. S ) |
32 |
28 31
|
sstrid |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( g " k ) C_ U. S ) |
33 |
26
|
fdmd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> dom F = U. S ) |
34 |
32 33
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( g " k ) C_ dom F ) |
35 |
|
funimass3 |
|- ( ( Fun F /\ ( g " k ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( g " k ) ) C_ v <-> ( g " k ) C_ ( `' F " v ) ) ) |
36 |
27 34 35
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( ( F " ( g " k ) ) C_ v <-> ( g " k ) C_ ( `' F " v ) ) ) |
37 |
21 36
|
bitrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } <-> ( g " k ) C_ ( `' F " v ) ) ) |
38 |
37
|
rabbidva |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> { g e. ( R Cn S ) | ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } = { g e. ( R Cn S ) | ( g " k ) C_ ( `' F " v ) } ) |
39 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> R e. Top ) |
40 |
|
cntop1 |
|- ( F e. ( S Cn T ) -> S e. Top ) |
41 |
2 40
|
syl |
|- ( ph -> S e. Top ) |
42 |
41
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> S e. Top ) |
43 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> k e. ~P U. R ) |
44 |
43
|
elpwid |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> k C_ U. R ) |
45 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ( R |`t k ) e. Comp ) |
46 |
2
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> F e. ( S Cn T ) ) |
47 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> v e. T ) |
48 |
|
cnima |
|- ( ( F e. ( S Cn T ) /\ v e. T ) -> ( `' F " v ) e. S ) |
49 |
46 47 48
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ( `' F " v ) e. S ) |
50 |
8 39 42 44 45 49
|
xkoopn |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> { g e. ( R Cn S ) | ( g " k ) C_ ( `' F " v ) } e. ( S ^ko R ) ) |
51 |
38 50
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> { g e. ( R Cn S ) | ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } e. ( S ^ko R ) ) |
52 |
|
imaeq2 |
|- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) = ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) |
53 |
|
eqid |
|- ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) = ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) |
54 |
53
|
mptpreima |
|- ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) = { g e. ( R Cn S ) | ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } |
55 |
52 54
|
eqtrdi |
|- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) = { g e. ( R Cn S ) | ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } ) |
56 |
55
|
eleq1d |
|- ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) e. ( S ^ko R ) <-> { g e. ( R Cn S ) | ( F o. g ) e. { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } } e. ( S ^ko R ) ) ) |
57 |
51 56
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) /\ ( R |`t k ) e. Comp ) -> ( x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } -> ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) e. ( S ^ko R ) ) ) |
58 |
57
|
expimpd |
|- ( ( ph /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. T ) ) -> ( ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) e. ( S ^ko R ) ) ) |
59 |
58
|
rexlimdvva |
|- ( ph -> ( E. k e. ~P U. R E. v e. T ( ( R |`t k ) e. Comp /\ x = { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) e. ( S ^ko R ) ) ) |
60 |
12 59
|
syl5bi |
|- ( ph -> ( x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) -> ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) e. ( S ^ko R ) ) ) |
61 |
60
|
ralrimiv |
|- ( ph -> A. x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) e. ( S ^ko R ) ) |
62 |
|
eqid |
|- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R ) |
63 |
62
|
xkotopon |
|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. ( TopOn ` ( R Cn S ) ) ) |
64 |
1 41 63
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( S ^ko R ) e. ( TopOn ` ( R Cn S ) ) ) |
65 |
|
ovex |
|- ( R Cn T ) e. _V |
66 |
65
|
pwex |
|- ~P ( R Cn T ) e. _V |
67 |
8 9 10
|
xkotf |
|- ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) : ( { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } X. T ) --> ~P ( R Cn T ) |
68 |
|
frn |
|- ( ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) : ( { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } X. T ) --> ~P ( R Cn T ) -> ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn T ) ) |
69 |
67 68
|
ax-mp |
|- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn T ) |
70 |
66 69
|
ssexi |
|- ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. _V |
71 |
70
|
a1i |
|- ( ph -> ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) e. _V ) |
72 |
|
cntop2 |
|- ( F e. ( S Cn T ) -> T e. Top ) |
73 |
2 72
|
syl |
|- ( ph -> T e. Top ) |
74 |
8 9 10
|
xkoval |
|- ( ( R e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) ) |
75 |
1 73 74
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( T ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ) ) ) |
76 |
|
eqid |
|- ( T ^ko R ) = ( T ^ko R ) |
77 |
76
|
xkotopon |
|- ( ( R e. Top /\ T e. Top ) -> ( T ^ko R ) e. ( TopOn ` ( R Cn T ) ) ) |
78 |
1 73 77
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( T ^ko R ) e. ( TopOn ` ( R Cn T ) ) ) |
79 |
64 71 75 78
|
subbascn |
|- ( ph -> ( ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) e. ( ( S ^ko R ) Cn ( T ^ko R ) ) <-> ( ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) : ( R Cn S ) --> ( R Cn T ) /\ A. x e. ran ( k e. { y e. ~P U. R | ( R |`t y ) e. Comp } , v e. T |-> { h e. ( R Cn T ) | ( h " k ) C_ v } ) ( `' ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) " x ) e. ( S ^ko R ) ) ) ) |
80 |
7 61 79
|
mpbir2and |
|- ( ph -> ( g e. ( R Cn S ) |-> ( F o. g ) ) e. ( ( S ^ko R ) Cn ( T ^ko R ) ) ) |