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Theorem 2atm

Description: An atom majorized by two different atom joins (which could be atoms or lines) is equal to their intersection. (Contributed by NM, 30-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses 2atm.l = ( le ‘ 𝐾 )
2atm.j = ( join ‘ 𝐾 )
2atm.m = ( meet ‘ 𝐾 )
2atm.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 2atm ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑇 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2atm.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 2atm.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 2atm.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 2atm.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 simp31 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) )
6 simp32 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) )
7 simp11 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8 7 hllatd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9 simp23 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑇𝐴 )
10 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11 10 4 atbase ( 𝑇𝐴𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 9 11 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 simp12 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑃𝐴 )
14 10 4 atbase ( 𝑃𝐴𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 13 14 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 simp13 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑄𝐴 )
17 10 4 atbase ( 𝑄𝐴𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 16 17 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 10 2 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 8 15 18 19 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 simp21 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑅𝐴 )
22 simp22 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑆𝐴 )
23 10 2 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴 ) → ( 𝑅 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 7 21 22 23 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( 𝑅 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 10 1 3 latlem12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ) )
26 8 12 20 24 25 syl13anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ) )
27 5 6 26 mpbi2and ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) )
28 hlatl ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
29 7 28 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
30 10 3 latmcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 8 20 24 30 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 eqid ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
33 10 1 32 4 atlen0 ( ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇𝐴 ) ∧ 𝑇 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
34 29 31 9 27 33 syl31anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) )
35 34 neneqd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
36 simp33 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) )
37 2 3 32 4 2atmat0 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
38 7 13 16 21 22 36 37 syl33anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
39 38 ord ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ¬ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
40 35 39 mt3d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 )
41 1 4 atcmp ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇𝐴 ∧ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ) )
42 29 9 40 41 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → ( 𝑇 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) ) )
43 27 42 mpbid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑆𝐴𝑇𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑇 ( 𝑅 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 𝑆 ) ) ) → 𝑇 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑆 ) ) )