Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2atm.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
2atm.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
2atm.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
2atm.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) |
6 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) |
7 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
8 |
7
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
9 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
11 |
10 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
12 |
9 11
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
13 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
14 |
10 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
17 |
10 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
19 |
10 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
20 |
8 15 18 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
21 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
22 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
23 |
10 2 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
24 |
7 21 22 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
25 |
10 1 3
|
latlem12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) ) |
26 |
8 12 20 24 25
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) ) |
27 |
5 6 26
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) |
28 |
|
hlatl |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat ) |
29 |
7 28
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat ) |
30 |
10 3
|
latmcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
31 |
8 20 24 30
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
32 |
|
eqid |
⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) |
33 |
10 1 32 4
|
atlen0 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
34 |
29 31 9 27 33
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
35 |
34
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
36 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) |
37 |
2 3 32 4
|
2atmat0 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) |
38 |
7 13 16 21 22 36 37
|
syl33anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) |
39 |
38
|
ord |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ¬ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) |
40 |
35 39
|
mt3d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ) |
41 |
1 4
|
atcmp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) ) |
42 |
29 9 40 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ↔ 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) ) |
43 |
27 42
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑇 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≠ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑇 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) |