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Theorem 2llnma3r

Description: Two different intersecting lines (expressed in terms of atoms) meet at their common point (atom). (Contributed by NM, 30-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses 2llnm.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2llnm.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2llnm.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
2llnm.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 2llnma3r ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2llnm.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 2llnm.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 2llnm.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 2llnm.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 simp21 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
7 simp23 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
8 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
9 5 6 7 8 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
10 simp22 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
11 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )
12 5 10 7 11 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) )
13 9 12 oveq12d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) )
14 simpr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → 𝑄 = 𝑅 )
15 14 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑅 ) )
16 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → 𝐾 ∈ HL )
17 simpl23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
18 2 4 hlatjidm ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑅 ) = 𝑅 )
19 16 17 18 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑅 ) = 𝑅 )
20 15 19 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) = 𝑅 )
21 20 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑅 ) )
22 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
23 5 7 6 22 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) )
24 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
25 24 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
26 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
27 26 4 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 7 27 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 26 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 5 7 6 29 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
31 26 1 3 latleeqm2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ↔ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑅 ) = 𝑅 ) )
32 25 28 30 31 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ↔ ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑅 ) = 𝑅 ) )
33 23 32 mpbid ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑅 ) = 𝑅 )
34 33 adantr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑅 ) = 𝑅 )
35 21 34 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 = 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) = 𝑅 )
36 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → 𝐾 ∈ HL )
37 simpl21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
38 simpl23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
39 simpl22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
40 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
41 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
42 5 6 7 41 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
43 26 4 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 10 43 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 26 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 5 6 7 45 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 26 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
48 25 44 28 46 47 syl13anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
49 48 biimpd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
50 42 49 mpan2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
51 50 adantr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
52 simpr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → 𝑄 ≠ 𝑅 )
53 1 2 4 ps-1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
54 36 39 38 52 37 38 53 syl132anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
55 54 biimpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
56 eqcom ⊢ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
57 55 56 syl6ib ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
58 51 57 syld ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) = ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) )
59 58 necon3ad ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) → ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) )
60 40 59 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
61 1 2 3 4 2llnma1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) = 𝑅 )
62 36 37 38 39 60 61 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) = 𝑅 )
63 35 62 pm2.61dane ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑄 ) ) = 𝑅 )
64 13 63 eqtrd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )