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Theorem baerlem5alem2

Description: Lemma for baerlem5a . (Contributed by NM, 9-Apr-2015)

Ref Expression
Hypotheses baerlem3.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
baerlem3.m ⊢ − = ( -g ‘ 𝑊 )
baerlem3.o ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑊 )
baerlem3.s ⊢ ⊕ = ( LSSum ‘ 𝑊 )
baerlem3.n ⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
baerlem3.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LVec )
baerlem3.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
baerlem3.c ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) )
baerlem3.d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
baerlem3.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
baerlem3.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
baerlem3.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
baerlem3.t ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
baerlem3.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
baerlem3.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
baerlem3.a ⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝑅 )
baerlem3.l ⊢ 𝐿 = ( -g ‘ 𝑅 )
baerlem3.q ⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝑅 )
baerlem3.i ⊢ 𝐼 = ( invg ‘ 𝑅 )
Assertion baerlem5alem2 ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) = ( ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 baerlem3.v ⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 baerlem3.m ⊢ − = ( -g ‘ 𝑊 )
3 baerlem3.o ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑊 )
4 baerlem3.s ⊢ ⊕ = ( LSSum ‘ 𝑊 )
5 baerlem3.n ⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
6 baerlem3.w ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LVec )
7 baerlem3.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 )
8 baerlem3.c ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) )
9 baerlem3.d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
10 baerlem3.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
11 baerlem3.z ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
12 baerlem3.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝑊 )
13 baerlem3.t ⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑊 )
14 baerlem3.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑊 )
15 baerlem3.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
16 baerlem3.a ⊢ ⨣ = ( +g ‘ 𝑅 )
17 baerlem3.l ⊢ 𝐿 = ( -g ‘ 𝑅 )
18 baerlem3.q ⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝑅 )
19 baerlem3.i ⊢ 𝐼 = ( invg ‘ 𝑅 )
20 lveclmod ⊢ ( 𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod )
21 6 20 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ LMod )
22 lmodabl ⊢ ( 𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel )
23 21 22 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Abel )
24 10 eldifad ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 )
25 11 eldifad ⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉 )
26 1 12 2 23 7 24 25 ablsubsub4 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) = ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) )
27 26 sneqd ⊢ ( 𝜑 → { ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) } = { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } )
28 27 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) } ) = ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) )
29 1 2 lmodvsubcl ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
30 21 7 24 29 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
31 1 2 4 5 lspsntrim ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 − 𝑌 ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) )
32 21 30 25 31 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) )
33 28 32 eqsstrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) )
34 1 2 23 7 25 24 ablsub32 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − 𝑌 ) = ( ( 𝑋 − 𝑌 ) − 𝑍 ) )
35 34 26 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − 𝑌 ) = ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) )
36 35 sneqd ⊢ ( 𝜑 → { ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − 𝑌 ) } = { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } )
37 36 fveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − 𝑌 ) } ) = ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) )
38 1 2 lmodvsubcl ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
39 21 7 25 38 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
40 1 2 4 5 lspsntrim ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 − 𝑍 ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − 𝑌 ) } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) )
41 21 39 24 40 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( ( 𝑋 − 𝑍 ) − 𝑌 ) } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) )
42 37 41 eqsstrrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ⊆ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) )
43 33 42 ssind ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ⊆ ( ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) )
44 elin ⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ↔ ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) )
45 1 12 14 15 13 4 5 21 30 25 lsmspsn ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) )
46 1 12 14 15 13 4 5 21 39 24 lsmspsn ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ 𝐵 ∃ 𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) )
47 45 46 anbi12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑗 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝐵 ∃ 𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) ) )
48 44 47 syl5bb ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝐵 ∃ 𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) ) )
49 simp11 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝜑 )
50 49 6 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑊 ∈ LVec )
51 49 7 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 )
52 49 8 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) )
53 49 9 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
54 49 10 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
55 49 11 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
56 simp12l ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑎 ∈ 𝐵 )
57 simp12r ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝐵 )
58 simp2l ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑑 ∈ 𝐵 )
59 simp2r ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑒 ∈ 𝐵 )
60 simp13 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) )
61 simp3 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) )
62 1 2 3 4 5 50 51 52 53 54 55 12 13 14 15 16 17 18 19 56 57 58 59 60 61 baerlem5alem1 ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑗 = ( 𝑎 · ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ) )
63 49 21 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑊 ∈ LMod )
64 1 12 lmodvacl ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
65 21 24 25 64 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 )
66 1 2 lmodvsubcl ⊢ ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∈ 𝑉 )
67 21 7 65 66 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∈ 𝑉 )
68 49 67 syl ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ∈ 𝑉 )
69 1 13 14 15 5 63 56 68 lspsneli ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → ( 𝑎 · ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) ) ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) )
70 62 69 eqeltrd ⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) )
71 70 3exp ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) → ( ( 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) ) )
72 71 rexlimdvv ⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ) → ( ∃ 𝑑 ∈ 𝐵 ∃ 𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) )
73 72 3exp ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) → ( ∃ 𝑑 ∈ 𝐵 ∃ 𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) ) ) )
74 73 rexlimdvv ⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) → ( ∃ 𝑑 ∈ 𝐵 ∃ 𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) ) )
75 74 impd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ∃ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑎 · ( 𝑋 − 𝑌 ) ) + ( 𝑏 · 𝑍 ) ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ 𝐵 ∃ 𝑒 ∈ 𝐵 𝑗 = ( ( 𝑑 · ( 𝑋 − 𝑍 ) ) + ( 𝑒 · 𝑌 ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) )
76 48 75 sylbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) → 𝑗 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) ) )
77 76 ssrdv ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) )
78 43 77 eqssd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − ( 𝑌 + 𝑍 ) ) } ) = ( ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑌 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ∩ ( ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 − 𝑍 ) } ) ⊕ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) )