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Theorem binomfallfaclem2

Description: Lemma for binomfallfac . Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018)

Ref Expression
Hypotheses binomfallfaclem.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
binomfallfaclem.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
binomfallfaclem.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
binomfallfaclem.4 ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )
Assertion binomfallfaclem2 ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 binomfallfaclem.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
2 binomfallfaclem.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
3 binomfallfaclem.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
4 binomfallfaclem.4 ⊢ ( 𝜓 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac 𝑁 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )
5 elfzelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
6 bccl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
7 3 5 6 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
8 7 nn0cnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
9 fznn0sub ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
10 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
11 1 9 10 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
12 elfznn0 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
13 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ∈ ℂ )
14 2 12 13 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ∈ ℂ )
15 11 14 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
16 1 2 addcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ )
17 3 nn0cnd ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ )
18 16 17 subcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ∈ ℂ )
19 18 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ∈ ℂ )
20 8 15 19 mulassd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) ) )
21 9 nn0cnd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
22 subcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
23 1 21 22 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
24 12 nn0cnd ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
25 subcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
26 2 24 25 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 − 𝑘 ) ∈ ℂ )
27 15 23 26 adddid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) + ( 𝐵 − 𝑘 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) ) )
28 1 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
29 17 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ )
30 28 29 subcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 − 𝑁 ) ∈ ℂ )
31 24 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
32 2 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
33 30 31 32 ppncand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑁 ) + 𝑘 ) + ( 𝐵 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝑁 ) + 𝐵 ) )
34 28 29 31 subsubd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 − 𝑁 ) + 𝑘 ) )
35 34 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) + ( 𝐵 − 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 − 𝑁 ) + 𝑘 ) + ( 𝐵 − 𝑘 ) ) )
36 28 32 29 addsubd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) = ( ( 𝐴 − 𝑁 ) + 𝐵 ) )
37 33 35 36 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) + ( 𝐵 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) )
38 37 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) + ( 𝐵 − 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) )
39 11 14 23 mul32d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) )
40 1cnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 1 ∈ ℂ )
41 29 40 31 addsubd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑁 − 𝑘 ) + 1 ) )
42 41 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 − 𝑘 ) + 1 ) ) )
43 fallfacp1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) )
44 1 9 43 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 − 𝑘 ) + 1 ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) )
45 42 44 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) )
46 45 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) = ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) )
47 39 46 eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) )
48 11 14 26 mulassd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) ) )
49 fallfacp1 ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) )
50 2 12 49 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) )
51 50 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) ) )
52 48 51 eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
53 47 52 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐴 − ( 𝑁 − 𝑘 ) ) ) + ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( 𝐵 − 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) + ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
54 27 38 53 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) + ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
55 54 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) + ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
56 3 nn0zd ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
57 uzid ⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) )
58 peano2uz ⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) )
59 fzss2 ⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑁 ) → ( 0 ... 𝑁 ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
60 56 57 58 59 4syl ⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
61 60 sselda ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) )
62 fznn0sub ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
63 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
64 1 62 63 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
65 61 64 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
66 65 14 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
67 peano2nn0 ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 )
68 12 67 syl ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 )
69 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
70 2 68 69 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
71 11 70 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
72 8 66 71 adddid ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) + ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
73 20 55 72 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
74 73 sumeq2dv ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
75 74 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
76 16 3 fallfacp1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac 𝑁 ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) )
77 4 oveq1d ⊢ ( 𝜓 → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac 𝑁 ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) )
78 76 77 sylan9eq ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) )
79 fzfid ⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... 𝑁 ) ∈ Fin )
80 8 15 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
81 79 18 80 fsummulc1 ⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) )
82 81 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) )
83 78 82 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) · ( ( 𝐴 + 𝐵 ) − 𝑁 ) ) )
84 elfzelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
85 bcpasc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) + ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) )
86 3 84 85 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) + ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) )
87 86 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) + ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )
88 3 84 6 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
89 88 nn0cnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) ∈ ℂ )
90 peano2zm ⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
91 84 90 syl ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ )
92 bccl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑘 − 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
93 3 91 92 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℕ0 )
94 93 nn0cnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ∈ ℂ )
95 elfznn0 ⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 )
96 2 95 13 syl2an ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ∈ ℂ )
97 64 96 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ∈ ℂ )
98 89 94 97 adddird ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) + ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) )
99 87 98 eqtr3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) )
100 99 sumeq2dv ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) )
101 nn0uz ⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 )
102 3 101 eleqtrdi ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
103 89 97 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
104 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝑁 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) )
105 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) )
106 105 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
107 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑁 + 1 ) → ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) = ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) )
108 106 107 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) )
109 104 108 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = ( 𝑁 + 1 ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) )
110 102 103 109 fsump1 ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) )
111 peano2nn0 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
112 3 111 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
113 112 nn0zd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ )
114 3 nn0red ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ )
115 114 ltp1d ⊢ ( 𝜑 → 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) )
116 115 olcd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 + 1 ) < 0 ∨ 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) )
117 bcval4 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑁 + 1 ) < 0 ∨ 𝑁 < ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) = 0 )
118 3 113 116 117 syl3anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) = 0 )
119 118 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = ( 0 · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) )
120 112 nn0cnd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ )
121 120 subidd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) = 0 )
122 121 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) = ( 𝐴 FallFac 0 ) )
123 0nn0 ⊢ 0 ∈ ℕ0
124 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 FallFac 0 ) ∈ ℂ )
125 1 123 124 sylancl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 FallFac 0 ) ∈ ℂ )
126 122 125 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
127 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ )
128 2 112 127 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ )
129 126 128 mulcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ∈ ℂ )
130 129 mul02d ⊢ ( 𝜑 → ( 0 · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = 0 )
131 119 130 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) = 0 )
132 131 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − ( 𝑁 + 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + 0 ) )
133 61 103 syldan ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
134 79 133 fsumcl ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
135 134 addid1d ⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + 0 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )
136 110 132 135 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )
137 112 101 eleqtrdi ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
138 94 97 mulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
139 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 − 1 ) = ( 0 − 1 ) )
140 df-neg ⊢ - 1 = ( 0 − 1 )
141 139 140 eqtr4di ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑘 − 1 ) = - 1 )
142 141 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) = ( 𝑁 C - 1 ) )
143 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) )
144 143 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) )
145 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) = ( 𝐵 FallFac 0 ) )
146 144 145 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) )
147 142 146 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 0 → ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = ( ( 𝑁 C - 1 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ) )
148 137 138 147 fsum1p ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 C - 1 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) )
149 neg1z ⊢ - 1 ∈ ℤ
150 neg1lt0 ⊢ - 1 < 0
151 150 orci ⊢ ( - 1 < 0 ∨ 𝑁 < - 1 )
152 bcval4 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ - 1 ∈ ℤ ∧ ( - 1 < 0 ∨ 𝑁 < - 1 ) ) → ( 𝑁 C - 1 ) = 0 )
153 149 151 152 mp3an23 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 C - 1 ) = 0 )
154 3 153 syl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 C - 1 ) = 0 )
155 154 oveq1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 C - 1 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ) = ( 0 · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ) )
156 120 subid1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) = ( 𝑁 + 1 ) )
157 156 oveq2d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) = ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) )
158 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ )
159 1 112 158 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ ℂ )
160 157 159 eqeltrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) ∈ ℂ )
161 fallfaccl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 FallFac 0 ) ∈ ℂ )
162 2 123 161 sylancl ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 FallFac 0 ) ∈ ℂ )
163 160 162 mulcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ∈ ℂ )
164 163 mul02d ⊢ ( 𝜑 → ( 0 · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ) = 0 )
165 155 164 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 C - 1 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ) = 0 )
166 1zzd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
167 0zd ⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℤ )
168 1 2 3 binomfallfaclem1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑗 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
169 oveq2 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑁 C 𝑗 ) = ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) )
170 oveq2 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑁 − 𝑗 ) = ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) )
171 170 oveq2d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) = ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) )
172 oveq1 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝑗 + 1 ) = ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) )
173 172 oveq2d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 1 ) → ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) = ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) )
174 171 173 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) )
175 169 174 oveq12d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 − 1 ) → ( ( 𝑁 C 𝑗 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
176 166 167 56 168 175 fsumshft ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑗 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) ) )
177 17 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ )
178 elfzelz ⊢ ( 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
179 178 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℤ )
180 179 zcnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ )
181 1cnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → 1 ∈ ℂ )
182 177 180 181 subsub3d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) )
183 182 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) = ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) )
184 180 181 npcand ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) = 𝑘 )
185 184 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) )
186 183 185 oveq12d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) )
187 186 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )
188 187 sumeq2dv ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − ( 𝑘 − 1 ) ) ) · ( 𝐵 FallFac ( ( 𝑘 − 1 ) + 1 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )
189 176 188 eqtr2d ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑗 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
190 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑁 C 𝑘 ) = ( 𝑁 C 𝑗 ) )
191 oveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑁 − 𝑘 ) = ( 𝑁 − 𝑗 ) )
192 191 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) = ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) )
193 oveq1 ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝑘 + 1 ) = ( 𝑗 + 1 ) )
194 193 oveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) = ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) )
195 192 194 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
196 190 195 oveq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 C 𝑗 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) ) )
197 196 cbvsumv ⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑗 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑗 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑗 + 1 ) ) ) )
198 189 197 eqtr4di ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
199 165 198 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑁 C - 1 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 0 ) ) · ( 𝐵 FallFac 0 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) = ( 0 + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
200 1 2 3 binomfallfaclem1 ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
201 79 200 fsumcl ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ∈ ℂ )
202 201 addid2d ⊢ ( 𝜑 → ( 0 + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
203 148 199 202 3eqtrd ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) )
204 136 203 oveq12d ⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
205 fzfid ⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ∈ Fin )
206 205 103 138 fsumadd ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) )
207 79 133 200 fsumadd ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) = ( Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
208 204 206 207 3eqtr4d ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C ( 𝑘 − 1 ) ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
209 100 208 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
210 209 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) + ( ( 𝑁 C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( 𝑁 − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac ( 𝑘 + 1 ) ) ) ) ) )
211 75 83 210 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) FallFac ( 𝑁 + 1 ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 + 1 ) ) ( ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑘 ) · ( ( 𝐴 FallFac ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑘 ) ) · ( 𝐵 FallFac 𝑘 ) ) ) )