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Theorem cdlemkid2

Description: Lemma for cdlemkid . (Contributed by NM, 24-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
Assertion cdlemkid2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑌 = 𝑃 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) )
12 11 csbeq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑌 = ⦋ ( I ↾ 𝐵 ) / 𝑔 ⦌ 𝑌 )
13 1 6 7 idltrn ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( I ↾ 𝐵 ) ∈ 𝑇 )
14 13 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( I ↾ 𝐵 ) ∈ 𝑇 )
15 10 cdlemk41 ⊢ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∈ 𝑇 → ⦋ ( I ↾ 𝐵 ) / 𝑔 ⦌ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) ) )
16 14 15 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ⦋ ( I ↾ 𝐵 ) / 𝑔 ⦌ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) ) )
17 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
18 1 17 6 8 trlid0 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
19 18 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
20 19 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
21 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
22 hlol ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
23 21 22 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ OL )
24 simp31l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
25 1 5 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
26 24 25 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
27 1 3 17 olj01 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑃 )
28 23 26 27 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑃 )
29 20 28 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) = 𝑃 )
30 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
31 simp33l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝑇 )
32 6 7 ltrncnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝑏 ∈ 𝑇 )
33 30 31 32 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ◡ 𝑏 ∈ 𝑇 )
34 1 6 7 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ◡ 𝑏 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝑏 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
35 30 33 34 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ◡ 𝑏 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
36 f1of ⊢ ( ◡ 𝑏 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ◡ 𝑏 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
37 fcoi2 ⊢ ( ◡ 𝑏 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) = ◡ 𝑏 )
38 35 36 37 3syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) = ◡ 𝑏 )
39 38 fveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) = ( 𝑅 ‘ ◡ 𝑏 ) )
40 6 7 8 trlcnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝑏 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) )
41 30 31 40 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝑏 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) )
42 39 41 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) = ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) )
43 42 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) = ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
44 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
45 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
46 44 45 jca ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) )
47 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemkid1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
48 46 47 syld3an3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
49 43 48 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
50 29 49 oveq12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) ) = ( 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
51 21 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
52 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
53 30 31 52 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
54 1 3 4 latabs2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) = 𝑃 )
55 51 26 53 54 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) = 𝑃 )
56 50 55 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) ) = 𝑃 )
57 16 56 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ⦋ ( I ↾ 𝐵 ) / 𝑔 ⦌ 𝑌 = 𝑃 )
58 12 57 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑌 = 𝑃 )