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Theorem cdlemkid1

Description: Lemma for cdlemkid . (Contributed by NM, 24-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
Assertion cdlemkid1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 9 oveq1i ⊢ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) )
11 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
12 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13 simp3rl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ 𝑇 )
14 simp3rr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
15 1 5 6 7 8 trlnidat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐴 )
16 12 13 14 15 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐴 )
17 simp3ll ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
18 1 3 5 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝐵 )
19 11 17 16 18 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝐵 )
20 11 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
21 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
22 1 5 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
23 17 22 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
24 1 6 7 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
25 12 21 23 24 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
26 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
27 6 7 ltrncnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
28 12 26 27 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 )
29 6 7 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
30 12 13 28 29 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 )
31 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
32 12 30 31 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 )
33 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
34 20 25 32 33 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 )
35 2 3 5 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
36 11 17 16 35 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
37 1 2 3 4 5 atmod2i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
38 11 16 19 34 36 37 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
39 1 5 atbase ⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
40 16 39 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
41 1 6 7 8 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝐵 )
42 12 21 41 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝐵 )
43 1 3 latj32 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
44 20 23 40 42 43 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
45 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
46 2 3 5 6 7 8 trljat3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
47 12 21 45 46 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
48 47 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
49 1 3 latjass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
50 20 25 42 40 49 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
51 44 48 50 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
52 1 3 latjass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
53 20 25 32 40 52 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
54 1 3 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
55 20 42 40 54 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
56 6 7 8 trlcnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
57 12 26 56 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
58 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
59 57 58 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
60 59 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
61 55 60 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ) )
62 3 6 7 8 trljco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ) )
63 12 13 28 62 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ◡ 𝐹 ) ) )
64 1 3 latjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
65 20 40 32 64 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) = ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
66 61 63 65 3eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
67 66 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
68 53 67 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
69 51 68 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
70 69 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ) )
71 1 3 4 latabs2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
72 20 19 42 71 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
73 38 70 72 3eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )
74 10 73 syl5eq ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) )