Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dmatid.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
2 |
|
dmatid.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
3 |
|
dmatid.0 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
dmatid.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑁 DMat 𝑅 ) |
5 |
1
|
matgrp |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝐴 ∈ Grp ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ Grp ) |
7 |
1 2 3 4
|
dmatmat |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) |
8 |
7
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
9 |
8
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
10 |
1 2 3 4
|
dmatmat |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
11 |
10
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
12 |
11
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( -g ‘ 𝐴 ) = ( -g ‘ 𝐴 ) |
14 |
2 13
|
grpsubcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
15 |
6 9 12 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) |
16 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
19 |
7 10
|
anim12d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) ) |
20 |
19
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
22 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) |
23 |
|
eqid |
⊢ ( -g ‘ 𝑅 ) = ( -g ‘ 𝑅 ) |
24 |
1 2 13 23
|
matsubgcell |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) |
25 |
18 21 22 24
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) |
26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) ) |
27 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
28 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐷 ) |
29 |
27 17 28
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ) ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ) ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ) ) |
32 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑖 ∈ 𝑁 ) |
33 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑗 ∈ 𝑁 ) |
34 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → 𝑖 ≠ 𝑗 ) |
35 |
1 2 3 4
|
dmatelnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) = 0 ) |
36 |
31 32 33 34 35
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) = 0 ) |
37 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐷 ) |
38 |
27 17 37
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) |
39 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) |
41 |
1 2 3 4
|
dmatelnd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) ) → ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) = 0 ) |
42 |
40 32 33 34 41
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) = 0 ) |
43 |
36 42
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑗 ) ( -g ‘ 𝑅 ) ( 𝑖 𝑌 𝑗 ) ) = ( 0 ( -g ‘ 𝑅 ) 0 ) ) |
44 |
|
ringgrp |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp ) |
45 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
46 |
45 3
|
ring0cl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
47 |
44 46
|
jca |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
48 |
47
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) ) |
49 |
45 3 23
|
grpsubid |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) → ( 0 ( -g ‘ 𝑅 ) 0 ) = 0 ) |
50 |
48 49
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 0 ( -g ‘ 𝑅 ) 0 ) = 0 ) |
51 |
50
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( 0 ( -g ‘ 𝑅 ) 0 ) = 0 ) |
52 |
26 43 51
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗 ) → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = 0 ) |
53 |
52
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 ≠ 𝑗 → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = 0 ) ) |
54 |
53
|
ralrimivva |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ≠ 𝑗 → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = 0 ) ) |
55 |
1 2 3 4
|
dmatel |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ≠ 𝑗 → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = 0 ) ) ) ) |
56 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑖 ∈ 𝑁 ∀ 𝑗 ∈ 𝑁 ( 𝑖 ≠ 𝑗 → ( 𝑖 ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) 𝑗 ) = 0 ) ) ) ) |
57 |
15 54 56
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ) ) → ( 𝑋 ( -g ‘ 𝐴 ) 𝑌 ) ∈ 𝐷 ) |