Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
etransclem37.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ { ℝ , ℂ } ) |
2 |
|
etransclem37.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t 𝑆 ) ) |
3 |
|
etransclem37.p |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ ) |
4 |
|
etransclem37.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
5 |
|
etransclem37.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑃 − 1 ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ( ( 𝑥 − 𝑗 ) ↑ 𝑃 ) ) ) |
6 |
|
etransclem37.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
7 |
|
etransclem37.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ( ( 𝑥 − 𝑗 ) ↑ if ( 𝑗 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ) ) |
8 |
|
etransclem37.c |
⊢ 𝐶 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑛 } ) |
9 |
|
etransclem37.9 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
10 |
|
etransclem37.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋 ) |
11 |
8 6
|
etransclem16 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ∈ Fin ) |
12 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
13 |
3 12
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
14 |
13
|
faccld |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℕ ) |
15 |
14
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℤ ) |
16 |
8 6
|
etransclem12 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } ) |
17 |
16
|
eleq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ↔ 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } ) ) |
18 |
17
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } ) |
19 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } ↔ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 ) ) |
20 |
19
|
biimpi |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } → ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 ) ) |
21 |
20
|
simprd |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 ) |
22 |
18 21
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 ) |
23 |
22
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑁 = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) |
24 |
23
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( ! ‘ 𝑁 ) = ( ! ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) |
25 |
24
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ! ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
26 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑗 𝑐 |
27 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( 0 ... 𝑀 ) ∈ Fin ) |
28 |
|
nn0ex |
⊢ ℕ0 ∈ V |
29 |
28
|
a1i |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } → ℕ0 ∈ V ) |
30 |
|
fzssnn0 |
⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ⊆ ℕ0 |
31 |
|
mapss |
⊢ ( ( ℕ0 ∈ V ∧ ( 0 ... 𝑁 ) ⊆ ℕ0 ) → ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ⊆ ( ℕ0 ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
32 |
29 30 31
|
sylancl |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } → ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ⊆ ( ℕ0 ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
33 |
20
|
simpld |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
34 |
32 33
|
sseldd |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑁 } → 𝑐 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
35 |
18 34
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑐 ∈ ( ℕ0 ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
36 |
26 27 35
|
mccl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ! ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ∈ ℕ ) |
37 |
25 36
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ∈ ℕ ) |
38 |
37
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ∈ ℤ ) |
39 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑃 ∈ ℕ ) |
40 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
41 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑁 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑐 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
42 |
18 33 41
|
3syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑐 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
43 |
9
|
elfzelzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ ) |
44 |
43
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
45 |
39 40 42 44
|
etransclem10 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) ∈ ℤ ) |
46 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( 1 ... 𝑀 ) ∈ Fin ) |
47 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ) → 𝑃 ∈ ℕ ) |
48 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ) → 𝑐 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
49 |
|
0z |
⊢ 0 ∈ ℤ |
50 |
|
fzp1ss |
⊢ ( 0 ∈ ℤ → ( ( 0 + 1 ) ... 𝑀 ) ⊆ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
51 |
49 50
|
ax-mp |
⊢ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑀 ) ⊆ ( 0 ... 𝑀 ) |
52 |
51
|
sseli |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( ( 0 + 1 ) ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
53 |
|
1e0p1 |
⊢ 1 = ( 0 + 1 ) |
54 |
53
|
oveq1i |
⊢ ( 1 ... 𝑀 ) = ( ( 0 + 1 ) ... 𝑀 ) |
55 |
52 54
|
eleq2s |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
56 |
55
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ) → 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
57 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
58 |
47 48 56 57
|
etransclem3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ) → if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ℤ ) |
59 |
46 58
|
fprodzcl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ∈ ℤ ) |
60 |
45 59
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ∈ ℤ ) |
61 |
38 60
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ℤ ) |
62 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
63 |
|
etransclem11 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑑 ∈ ( ( 0 ... 𝑚 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = 𝑚 } ) |
64 |
8 63
|
eqtri |
⊢ 𝐶 = ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑑 ∈ ( ( 0 ... 𝑚 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑑 ‘ 𝑘 ) = 𝑚 } ) |
65 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) |
66 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
67 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) |
68 |
67
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) |
69 |
68
|
cbvprodv |
⊢ ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) = ∏ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) |
70 |
69
|
oveq2i |
⊢ ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) |
71 |
67
|
breq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ↔ 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) |
72 |
67
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) |
73 |
72
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
74 |
73
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
75 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( 𝐽 − 𝑗 ) = ( 𝐽 − 𝑘 ) ) |
76 |
75 72
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) |
77 |
74 76
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
78 |
71 77
|
ifbieq2d |
⊢ ( 𝑗 = 𝑘 → if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
79 |
78
|
cbvprodv |
⊢ ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ∏ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) |
80 |
79
|
oveq2i |
⊢ ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
81 |
70 80
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑘 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑘 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
82 |
39 40 62 64 65 66 81
|
etransclem28 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∥ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
83 |
11 15 61 82
|
fsumdvds |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∥ Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
84 |
1 2 3 4 5 6 7 8 10
|
etransclem31 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) ‘ 𝐽 ) = Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝑁 ) ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
85 |
83 84
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∥ ( ( ( 𝑆 D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝑁 ) ‘ 𝐽 ) ) |