Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
etransclem38.p |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ ) |
2 |
|
etransclem38.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
3 |
|
etransclem38.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑃 − 1 ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ( ( 𝑥 − 𝑗 ) ↑ 𝑃 ) ) ) |
4 |
|
etransclem38.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0 ) |
5 |
|
etransclem38.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
6 |
|
etransclem38.ij |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ∧ 𝐽 = 0 ) ) |
7 |
|
etransclem38.c |
⊢ 𝐶 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑛 } ) |
8 |
7 4
|
etransclem16 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ∈ Fin ) |
9 |
1
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ ) |
10 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝑃 ∈ ℕ ) |
11 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
12 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝐼 ∈ ℕ0 ) |
13 |
|
etransclem11 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝑛 } ) = ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑒 ∈ ( ( 0 ... 𝑚 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑒 ‘ 𝑘 ) = 𝑚 } ) |
14 |
|
etransclem11 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑒 ∈ ( ( 0 ... 𝑚 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑒 ‘ 𝑘 ) = 𝑚 } ) = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑑 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) = 𝑛 } ) |
15 |
7 13 14
|
3eqtri |
⊢ 𝐶 = ( 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ { 𝑑 ∈ ( ( 0 ... 𝑛 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑑 ‘ 𝑗 ) = 𝑛 } ) |
16 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) |
17 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
18 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
19 |
10 11 12 15 16 17 18
|
etransclem28 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∥ ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
20 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
21 |
1 20
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
22 |
21
|
faccld |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℕ ) |
23 |
22
|
nnzd |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℤ ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℤ ) |
25 |
22
|
nnne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ≠ 0 ) |
26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ≠ 0 ) |
27 |
5
|
elfzelzd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
29 |
10 11 12 28 15 16
|
etransclem26 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ℤ ) |
30 |
|
dvdsval2 |
⊢ ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ≠ 0 ∧ ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∥ ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ) ) |
31 |
24 26 29 30
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∥ ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ↔ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ) ) |
32 |
19 31
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ) |
33 |
|
pm3.22 |
⊢ ( ( 𝐽 = 0 ∧ 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ) → ( 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ∧ 𝐽 = 0 ) ) |
34 |
33
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ) → ( 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ∧ 𝐽 = 0 ) ) |
35 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ) → ¬ ( 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ∧ 𝐽 = 0 ) ) |
36 |
34 35
|
pm2.65da |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) → ¬ 𝐼 = ( 𝑃 − 1 ) ) |
37 |
36
|
neqned |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) → 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) |
38 |
1
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑃 ∈ ℕ ) |
39 |
2
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
40 |
4
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝐼 ∈ ℕ0 ) |
41 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) |
42 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝐽 = 0 ) |
43 |
16
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) |
44 |
38 39 40 41 42 15 43
|
etransclem24 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) ∧ 𝐼 ≠ ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑃 ∥ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
45 |
37 44
|
mpdan |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 = 0 ) → 𝑃 ∥ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
46 |
1
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝑃 ∈ ℕ ) |
47 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
48 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝐼 ∈ ℕ0 ) |
49 |
7 4
|
etransclem12 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 } ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) = { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 } ) |
51 |
16 50
|
eleqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 } ) |
52 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑐 ∈ { 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∣ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 } ↔ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 ) ) |
53 |
51 52
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ∧ Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 ) ) |
54 |
53
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) ) |
55 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑐 ∈ ( ( 0 ... 𝐼 ) ↑m ( 0 ... 𝑀 ) ) → 𝑐 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝐼 ) ) |
56 |
54 55
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝑐 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝐼 ) ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝑐 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝐼 ) ) |
58 |
53
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 ) |
59 |
58
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) = 𝐼 ) |
60 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 1 ∈ ℤ ) |
61 |
2
|
nn0zd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
63 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝐽 ∈ ℤ ) |
64 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝐽 ∈ ℕ0 ) |
65 |
5 64
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0 ) |
66 |
|
neqne |
⊢ ( ¬ 𝐽 = 0 → 𝐽 ≠ 0 ) |
67 |
65 66
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ≠ 0 ) ) |
68 |
|
elnnne0 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ℕ ↔ ( 𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ≠ 0 ) ) |
69 |
67 68
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝐽 ∈ ℕ ) |
70 |
69
|
nnge1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 1 ≤ 𝐽 ) |
71 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) → 𝐽 ≤ 𝑀 ) |
72 |
5 71
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ≤ 𝑀 ) |
73 |
72
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝐽 ≤ 𝑀 ) |
74 |
60 62 63 70 73
|
elfzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ) |
75 |
74
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ) |
76 |
46 47 48 57 59 18 75
|
etransclem25 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( ! ‘ 𝑃 ) ∥ ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
77 |
1
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ ) |
78 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
79 |
77 78
|
npcand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) = 𝑃 ) |
80 |
79
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 = ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) |
81 |
80
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ 𝑃 ) = ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) ) |
82 |
|
facp1 |
⊢ ( ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) ) |
83 |
21 82
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) ) |
84 |
79
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · 𝑃 ) ) |
85 |
22
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
86 |
85 77
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · 𝑃 ) = ( 𝑃 · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
87 |
84 86
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · ( ( 𝑃 − 1 ) + 1 ) ) = ( 𝑃 · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
88 |
81 83 87
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) = ( ! ‘ 𝑃 ) ) |
89 |
88
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( 𝑃 · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) = ( ! ‘ 𝑃 ) ) |
90 |
29
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
91 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
92 |
90 91 26
|
divcan1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → ( ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
93 |
92
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
94 |
76 89 93
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( 𝑃 · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∥ ( ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
95 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝑃 ∈ ℤ ) |
96 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ) |
97 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℤ ) |
98 |
25
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ≠ 0 ) |
99 |
|
dvdsmulcr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∈ ℤ ∧ ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑃 · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∥ ( ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) ) |
100 |
95 96 97 98 99
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → ( ( 𝑃 · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ∥ ( ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) ) |
101 |
94 100
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ¬ 𝐽 = 0 ) → 𝑃 ∥ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
102 |
45 101
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ) → 𝑃 ∥ ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
103 |
8 9 32 102
|
fsumdvds |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∥ Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
104 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
105 |
104
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
106 |
|
reopn |
⊢ ℝ ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
107 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
108 |
107
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
109 |
106 108
|
eleqtri |
⊢ ℝ ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
110 |
109
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ) |
111 |
|
etransclem5 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑦 − 𝑘 ) ↑ if ( 𝑘 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ) ) = ( 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ↦ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( ( 𝑥 − 𝑗 ) ↑ if ( 𝑗 = 0 , ( 𝑃 − 1 ) , 𝑃 ) ) ) ) |
112 |
|
fzssre |
⊢ ( 0 ... 𝑀 ) ⊆ ℝ |
113 |
112 5
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ ) |
114 |
105 110 1 2 3 4 111 7 113
|
etransclem31 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ‘ 𝐽 ) = Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
115 |
114
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) = ( Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
116 |
8 85 90 25
|
fsumdivc |
⊢ ( 𝜑 → ( Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
117 |
115 116
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) = Σ 𝑐 ∈ ( 𝐶 ‘ 𝐼 ) ( ( ( ( ! ‘ 𝐼 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝑐 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑐 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝑐 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |
118 |
103 117
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∥ ( ( ( ( ℝ D𝑛 𝐹 ) ‘ 𝐼 ) ‘ 𝐽 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) |