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Theorem etransclem38

Description: P divides the I -th derivative of F applied to J . if it is not the case that I = P - 1 and J = 0 . This is case 1 and the second part of case 2 proven in in Juillerat p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

Ref Expression
Hypotheses etransclem38.p 
|- ( ph -> P e. NN )
etransclem38.m 
|- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem38.f 
|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem38.i 
|- ( ph -> I e. NN0 )
etransclem38.j 
|- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem38.ij 
|- ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
etransclem38.c 
|- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
Assertion etransclem38 
|- ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 etransclem38.p 
 |-  ( ph -> P e. NN )
2 etransclem38.m 
 |-  ( ph -> M e. NN0 )
3 etransclem38.f 
 |-  F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
4 etransclem38.i 
 |-  ( ph -> I e. NN0 )
5 etransclem38.j 
 |-  ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
6 etransclem38.ij 
 |-  ( ph -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
7 etransclem38.c 
 |-  C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
8 7 4 etransclem16 
 |-  ( ph -> ( C ` I ) e. Fin )
9 1 nnzd 
 |-  ( ph -> P e. ZZ )
10 1 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P e. NN )
11 2 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> M e. NN0 )
12 4 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> I e. NN0 )
13 etransclem11 
 |-  ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } ) = ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } )
14 etransclem11 
 |-  ( m e. NN0 |-> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ k e. ( 0 ... M ) ( e ` k ) = m } ) = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
15 7 13 14 3eqtri 
 |-  C = ( n e. NN0 |-> { d e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( d ` j ) = n } )
16 simpr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( C ` I ) )
17 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ( 0 ... M ) )
18 eqid 
 |-  ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
19 10 11 12 15 16 17 18 etransclem28 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
20 nnm1nn0 
 |-  ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
21 1 20 syl 
 |-  ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
22 21 faccld 
 |-  ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
23 22 nnzd 
 |-  ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
24 23 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
25 22 nnne0d 
 |-  ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
26 25 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
27 5 elfzelzd 
 |-  ( ph -> J e. ZZ )
28 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> J e. ZZ )
29 10 11 12 28 15 16 etransclem26 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ )
30 dvdsval2 
 |-  ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 /\ ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
31 24 26 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) <-> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ ) )
32 19 31 mpbid 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
33 pm3.22 
 |-  ( ( J = 0 /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
34 33 adantll 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
35 6 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I = ( P - 1 ) ) -> -. ( I = ( P - 1 ) /\ J = 0 ) )
36 34 35 pm2.65da 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> -. I = ( P - 1 ) )
37 36 neqned 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> I =/= ( P - 1 ) )
38 1 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P e. NN )
39 2 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> M e. NN0 )
40 4 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I e. NN0 )
41 simpr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> I =/= ( P - 1 ) )
42 simplr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> J = 0 )
43 16 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> c e. ( C ` I ) )
44 38 39 40 41 42 15 43 etransclem24 
 |-  ( ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) /\ I =/= ( P - 1 ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
45 37 44 mpdan 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
46 1 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. NN )
47 2 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> M e. NN0 )
48 4 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> I e. NN0 )
49 7 4 etransclem12 
 |-  ( ph -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
50 49 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( C ` I ) = { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
51 16 50 eleqtrd 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } )
52 rabid 
 |-  ( c e. { c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I } <-> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
53 51 52 sylib 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I ) )
54 53 simpld 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) )
55 elmapi 
 |-  ( c e. ( ( 0 ... I ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
56 54 55 syl 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
57 56 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... I ) )
58 53 simprd 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
59 58 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = I )
60 1zzd 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 e. ZZ )
61 2 nn0zd 
 |-  ( ph -> M e. ZZ )
62 61 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> M e. ZZ )
63 27 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ZZ )
64 60 62 63 3jca 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) )
65 elfznn0 
 |-  ( J e. ( 0 ... M ) -> J e. NN0 )
66 5 65 syl 
 |-  ( ph -> J e. NN0 )
67 neqne 
 |-  ( -. J = 0 -> J =/= 0 )
68 66 67 anim12i 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
69 elnnne0 
 |-  ( J e. NN <-> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
70 68 69 sylibr 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. NN )
71 70 nnge1d 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 <_ J )
72 elfzle2 
 |-  ( J e. ( 0 ... M ) -> J <_ M )
73 5 72 syl 
 |-  ( ph -> J <_ M )
74 73 adantr 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J <_ M )
75 64 71 74 jca32 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
76 elfz2 
 |-  ( J e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
77 75 76 sylibr 
 |-  ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
78 77 adantlr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
79 46 47 48 57 59 18 78 etransclem25 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` P ) || ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
80 1 nncnd 
 |-  ( ph -> P e. CC )
81 1cnd 
 |-  ( ph -> 1 e. CC )
82 80 81 npcand 
 |-  ( ph -> ( ( P - 1 ) + 1 ) = P )
83 82 eqcomd 
 |-  ( ph -> P = ( ( P - 1 ) + 1 ) )
84 83 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( ! ` P ) = ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
85 facp1 
 |-  ( ( P - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
86 21 85 syl 
 |-  ( ph -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
87 82 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) )
88 22 nncnd 
 |-  ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
89 88 80 mulcomd 
 |-  ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
90 87 89 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
91 84 86 90 3eqtrrd 
 |-  ( ph -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
92 91 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` P ) )
93 29 zcnd 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) e. CC )
94 88 adantr 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
95 93 94 26 divcan1d 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
96 95 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
97 79 92 96 3brtr4d 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
98 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P e. ZZ )
99 32 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ )
100 23 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
101 25 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
102 dvdsmulcr 
 |-  ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
103 98 99 100 101 102 syl112anc 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> ( ( P x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) || ( ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) x. ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <-> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
104 97 103 mpbid 
 |-  ( ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) /\ -. J = 0 ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
105 45 104 pm2.61dan 
 |-  ( ( ph /\ c e. ( C ` I ) ) -> P || ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
106 8 9 32 105 fsumdvds 
 |-  ( ph -> P || sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
107 reelprrecn 
 |-  RR e. { RR , CC }
108 107 a1i 
 |-  ( ph -> RR e. { RR , CC } )
109 reopn 
 |-  RR e. ( topGen ` ran (,) )
110 eqid 
 |-  ( TopOpen ` CCfld ) = ( TopOpen ` CCfld )
111 110 tgioo2 
 |-  ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
112 109 111 eleqtri 
 |-  RR e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR )
113 112 a1i 
 |-  ( ph -> RR e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t RR ) )
114 etransclem5 
 |-  ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. RR |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. RR |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
115 fzssre 
 |-  ( 0 ... M ) C_ RR
116 115 5 sseldi 
 |-  ( ph -> J e. RR )
117 108 113 1 2 3 4 114 7 116 etransclem31 
 |-  ( ph -> ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
118 117 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
119 8 88 93 25 fsumdivc 
 |-  ( ph -> ( sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
120 118 119 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = sum_ c e. ( C ` I ) ( ( ( ( ! ` I ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
121 106 120 breqtrrd 
 |-  ( ph -> P || ( ( ( ( RR Dn F ) ` I ) ` J ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )