Theorem etransclem31

Description: The N -th derivative of H applied to Y . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	etransclem31.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
	etransclem31.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t S ) )
	etransclem31.p	|- ( ph -> P e. NN )
	etransclem31.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
	etransclem31.f	|- F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
	etransclem31.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
	etransclem31.h	|- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
	etransclem31.c	|- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
	etransclem31.y	|- ( ph -> Y e. X )
Assertion	etransclem31	|- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` Y ) = sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem31.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		etransclem31.x	|- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t S ) )
3		etransclem31.p	|- ( ph -> P e. NN )
4		etransclem31.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
5		etransclem31.f	|- F = ( x e. X |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
6		etransclem31.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
7		etransclem31.h	|- H = ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
8		etransclem31.c	|- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
9		etransclem31.y	|- ( ph -> Y e. X )
10	1 2 3 4 5 6 7 8	etransclem30	|- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` N ) = ( x e. X |-> sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) ) )
11		fveq2	|- ( x = Y -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) = ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) )
12	11	prodeq2ad	|- ( x = Y -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) = prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) )
13	12	oveq2d	|- ( x = Y -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) )
14	13	sumeq2sdv	|- ( x = Y -> sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) = sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) )
15	14	adantl	|- ( ( ph /\ x = Y ) -> sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` x ) ) = sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) )
16	8 6	etransclem16	|- ( ph -> ( C ` N ) e. Fin )
17	6	faccld	|- ( ph -> ( ! ` N ) e. NN )
18	17	nncnd	|- ( ph -> ( ! ` N ) e. CC )
19	18	adantr	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
20		fzfid	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
21		fzssnn0	|- ( 0 ... N ) C_ NN0
22		ssrab2	|- { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } C_ ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) )
23		simpr	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> c e. ( C ` N ) )
24	8 6	etransclem12	|- ( ph -> ( C ` N ) = { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
25	24	adantr	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( C ` N ) = { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
26	23 25	eleqtrd	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
27	22 26	sseldi	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
28	27	adantr	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
29		elmapi	|- ( c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
30	28 29	syl	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> c : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
31		simpr	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
32	30 31	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. ( 0 ... N ) )
33	21 32	sseldi	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( c ` j ) e. NN0 )
34	33	faccld	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) e. NN )
35	34	nncnd	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) e. CC )
36	20 35	fprodcl	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) e. CC )
37	34	nnne0d	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ! ` ( c ` j ) ) =/= 0 )
38	20 35 37	fprodn0	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) =/= 0 )
39	19 36 38	divcld	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) e. CC )
40	1	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S e. { RR , CC } )
41	2	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> X e. ( ( TopOpen ` CCfld ) |`t S ) )
42	3	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
43		etransclem5	|- ( j e. ( 0 ... M ) |-> ( x e. X |-> ( ( x - j ) ^ if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
44	7 43	eqtri	|- H = ( k e. ( 0 ... M ) |-> ( y e. X |-> ( ( y - k ) ^ if ( k = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
45	40 41 42 44 31 33	etransclem20	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) : X --> CC )
46	9	ad2antrr	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> Y e. X )
47	45 46	ffvelrnd	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) e. CC )
48	20 47	fprodcl	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) e. CC )
49	39 48	mulcld	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) e. CC )
50	16 49	fsumcl	|- ( ph -> sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) e. CC )
51	10 15 9 50	fvmptd	|- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` Y ) = sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) )
52	40 41 42 44 31 33 46	etransclem21	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) = if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) )
53	52	prodeq2dv	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) = prod_ j e. ( 0 ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) )
54		nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
55	4 54	eleqtrdi	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
56	55	adantr	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
57	52 47	eqeltrrd	|- ( ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) e. CC )
58		iftrue	|- ( j = 0 -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( P - 1 ) )
59		fveq2	|- ( j = 0 -> ( c ` j ) = ( c ` 0 ) )
60	58 59	breq12d	|- ( j = 0 -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) <-> ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) ) )
61	58	fveq2d	|- ( j = 0 -> ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) = ( ! ` ( P - 1 ) ) )
62	58 59	oveq12d	|- ( j = 0 -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) = ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) )
63	62	fveq2d	|- ( j = 0 -> ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) = ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) )
64	61 63	oveq12d	|- ( j = 0 -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) )
65		oveq2	|- ( j = 0 -> ( Y - j ) = ( Y - 0 ) )
66	65 62	oveq12d	|- ( j = 0 -> ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) = ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) )
67	64 66	oveq12d	|- ( j = 0 -> ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) = ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) )
68	60 67	ifbieq2d	|- ( j = 0 -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) = if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) )
69	56 57 68	fprod1p	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) = ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
70	1 2	dvdmsscn	|- ( ph -> X C_ CC )
71	70 9	sseldd	|- ( ph -> Y e. CC )
72	71	subid1d	|- ( ph -> ( Y - 0 ) = Y )
73	72	oveq1d	|- ( ph -> ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) = ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) )
74	73	oveq2d	|- ( ph -> ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) = ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) )
75	74	ifeq2d	|- ( ph -> if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) = if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) )
76		0p1e1	|- ( 0 + 1 ) = 1
77	76	oveq1i	|- ( ( 0 + 1 ) ... M ) = ( 1 ... M )
78	77	prodeq1i	|- prod_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) )
79		0red	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> 0 e. RR )
80		1red	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> 1 e. RR )
81		elfzelz	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. ZZ )
82	81	zred	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> j e. RR )
83		0lt1	|- 0 < 1
84	83	a1i	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> 0 < 1 )
85		elfzle1	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> 1 <_ j )
86	79 80 82 84 85	ltletrd	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> 0 < j )
87	86	gt0ne0d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> j =/= 0 )
88	87	neneqd	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> -. j = 0 )
89	88	iffalsed	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) = P )
90	89	breq1d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) <-> P < ( c ` j ) ) )
91	89	fveq2d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) = ( ! ` P ) )
92	89	oveq1d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) = ( P - ( c ` j ) ) )
93	92	fveq2d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) = ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) )
94	91 93	oveq12d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) = ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) )
95	92	oveq2d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) = ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) )
96	94 95	oveq12d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) )
97	90 96	ifbieq2d	|- ( j e. ( 1 ... M ) -> if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) = if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) )
98	97	prodeq2i	|- prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) )
99	78 98	eqtri	|- prod_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) )
100	99	a1i	|- ( ph -> prod_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) )
101	75 100	oveq12d	|- ( ph -> ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) ) = ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
102	101	adantr	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( ( Y - 0 ) ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( ( 0 + 1 ) ... M ) if ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) / ( ! ` ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( if ( j = 0 , ( P - 1 ) , P ) - ( c ` j ) ) ) ) ) ) = ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
103	53 69 102	3eqtrd	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) = ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) )
104	103	oveq2d	|- ( ( ph /\ c e. ( C ` N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
105	104	sumeq2dv	|- ( ph -> sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( S Dn ( H ` j ) ) ` ( c ` j ) ) ` Y ) ) = sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )
106	51 105	eqtrd	|- ( ph -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) ` Y ) = sum_ c e. ( C ` N ) ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( c ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( c ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) x. ( Y ^ ( ( P - 1 ) - ( c ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( c ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( c ` j ) ) ) ) x. ( ( Y - j ) ^ ( P - ( c ` j ) ) ) ) ) ) ) )