Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem4.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem4.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem4.altb |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 ) |
4 |
|
fourierdlem4.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 ) |
5 |
|
fourierdlem4.e |
⊢ 𝐸 = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
6 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
7 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
8 |
7 6
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
9 |
2 1
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
10 |
4 9
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
12 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
13 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
14 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
15 |
1 3
|
gtned |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
16 |
13 14 15
|
subne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ≠ 0 ) |
17 |
12 16
|
eqnetrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ≠ 0 ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ≠ 0 ) |
19 |
8 11 18
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
20 |
19
|
flcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℤ ) |
21 |
20
|
zred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
22 |
21 11
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
23 |
6 22
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ) |
24 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
25 |
24 6
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 − 𝑥 ) ∈ ℝ ) |
26 |
25 11 18
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
27 |
26 11
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
28 |
13
|
addid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 0 ) = 𝐵 ) |
29 |
28
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝐵 + 0 ) ) |
30 |
13 14
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
31 |
30
|
subidd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 0 ) |
32 |
31
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → 0 = ( ( 𝐵 − 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 0 ) = ( 𝐵 + ( ( 𝐵 − 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
34 |
13 30 30
|
addsub12d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( ( 𝐵 − 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐴 ) + ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
35 |
13 14
|
nncand |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
36 |
35
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) + ( 𝐵 − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐴 ) + 𝐴 ) ) |
37 |
30 14
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) + 𝐴 ) = ( 𝐴 + ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
38 |
12
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = 𝑇 ) |
39 |
38
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 + ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( 𝐴 + 𝑇 ) ) |
40 |
37 39
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) + 𝐴 ) = ( 𝐴 + 𝑇 ) ) |
41 |
34 36 40
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + ( ( 𝐵 − 𝐴 ) − ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 + 𝑇 ) ) |
42 |
29 33 41
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝐴 + 𝑇 ) ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐵 = ( 𝐴 + 𝑇 ) ) |
44 |
43
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( ( 𝐴 + 𝑇 ) − 𝑥 ) ) |
45 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
46 |
11
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
47 |
6
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
48 |
45 46 47
|
addsubd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝑇 ) − 𝑥 ) = ( ( 𝐴 − 𝑥 ) + 𝑇 ) ) |
49 |
44 48
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝑥 ) = ( ( 𝐴 − 𝑥 ) + 𝑇 ) ) |
50 |
49
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) + 𝑇 ) / 𝑇 ) ) |
51 |
45 47
|
subcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 − 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
52 |
51 46 46 18
|
divdird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) + 𝑇 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + ( 𝑇 / 𝑇 ) ) ) |
53 |
4 30
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ ) |
54 |
53 17
|
dividd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 / 𝑇 ) = 1 ) |
55 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑇 / 𝑇 ) = 1 ) |
56 |
55
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + ( 𝑇 / 𝑇 ) ) = ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) |
57 |
50 52 56
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) = ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) |
58 |
57
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) ) |
59 |
58
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) · 𝑇 ) ) |
60 |
59 22
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
61 |
|
peano2re |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
62 |
26 61
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
63 |
|
reflcl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
64 |
62 63
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
65 |
1 2
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
66 |
3 65
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
67 |
66 12
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝑇 ) |
68 |
10 67
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝑇 ∈ ℝ+ ) |
70 |
|
flltp1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ → ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ) |
71 |
26 70
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ) |
72 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 1 ∈ ℤ ) |
73 |
|
fladdz |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ) |
74 |
26 72 73
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) + 1 ) ) |
75 |
71 74
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) < ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) ) |
76 |
26 64 69 75
|
ltmul1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) · 𝑇 ) ) |
77 |
27 60 6 76
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) < ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
78 |
51 46 18
|
divcan1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) |
79 |
78
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ) |
80 |
47 45
|
pncan3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( 𝐴 − 𝑥 ) ) = 𝐴 ) |
81 |
79 80
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) = 𝐴 ) |
82 |
59
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
83 |
82
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( ( 𝐴 − 𝑥 ) / 𝑇 ) + 1 ) ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
84 |
77 81 83
|
3brtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐴 < ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ) |
85 |
19 11
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
86 |
|
flle |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) ≤ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) |
87 |
19 86
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) ≤ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) |
88 |
21 19 69
|
lemul1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) ≤ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ↔ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) ) |
89 |
87 88
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ≤ ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) |
90 |
22 85 6 89
|
leadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ≤ ( 𝑥 + ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) ) |
91 |
8
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝑥 ) ∈ ℂ ) |
92 |
91 46 18
|
divcan1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) = ( 𝐵 − 𝑥 ) ) |
93 |
92
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) = ( 𝑥 + ( 𝐵 − 𝑥 ) ) ) |
94 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
95 |
47 94
|
pncan3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( 𝐵 − 𝑥 ) ) = 𝐵 ) |
96 |
93 95
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) · 𝑇 ) ) = 𝐵 ) |
97 |
90 96
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐵 ) |
98 |
24
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
99 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐵 ) ) ) |
100 |
98 7 99
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∧ ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ≤ 𝐵 ) ) ) |
101 |
23 84 97 100
|
mpbir3and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝑥 + ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐵 − 𝑥 ) / 𝑇 ) ) · 𝑇 ) ) ∈ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) |
102 |
101 5
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 : ℝ ⟶ ( 𝐴 (,] 𝐵 ) ) |