Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem59.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
2 |
|
fourierdlem59.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
3 |
|
fourierdlem59.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
4 |
|
fourierdlem59.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
5 |
|
fourierdlem59.n0 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
6 |
|
fourierdlem59.fdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) –cn→ ℝ ) ) |
7 |
|
fourierdlem59.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
8 |
|
fourierdlem59.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / 𝑠 ) ) |
9 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐹 : ℝ ⟶ ℝ ) |
10 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ ℝ ) |
11 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℝ ) |
13 |
10 12
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
14 |
9 13
|
ffvelrnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℝ ) |
15 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
16 |
14 15
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℝ ) |
17 |
|
eqcom |
⊢ ( 𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠 ) |
18 |
17
|
biimpi |
⊢ ( 𝑠 = 0 → 0 = 𝑠 ) |
19 |
18
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 = 𝑠 ) |
20 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
21 |
19 20
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
22 |
21
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
23 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) ∧ 𝑠 = 0 ) → ¬ 0 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
24 |
22 23
|
pm2.65da |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ¬ 𝑠 = 0 ) |
25 |
24
|
neqned |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ≠ 0 ) |
26 |
16 12 25
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / 𝑠 ) ∈ ℝ ) |
27 |
26 8
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
28 |
|
ioossre |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ |
29 |
28
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) |
30 |
|
dvfre |
⊢ ( ( 𝐻 : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ∧ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℝ ) → ( ℝ D 𝐻 ) : dom ( ℝ D 𝐻 ) ⟶ ℝ ) |
31 |
27 29 30
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐻 ) : dom ( ℝ D 𝐻 ) ⟶ ℝ ) |
32 |
|
ovex |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ V |
33 |
32
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ V ) |
34 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) |
35 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) |
36 |
33 16 12 34 35
|
offval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ∘f / ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) / 𝑠 ) ) ) |
37 |
8 36
|
eqtr4id |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 = ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ∘f / ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) ) |
38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐻 ) = ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ∘f / ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) ) ) |
39 |
|
reelprrecn |
⊢ ℝ ∈ { ℝ , ℂ } |
40 |
39
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ { ℝ , ℂ } ) |
41 |
16
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
42 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) |
43 |
41 42
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
44 |
12
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ℂ ) |
45 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ↔ ( 𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0 ) ) |
46 |
44 25 45
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
47 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) |
48 |
46 47
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ( ℂ ∖ { 0 } ) ) |
49 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) |
50 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) |
51 |
33 14 15 49 50
|
offval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∘f − ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) |
52 |
51
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) = ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∘f − ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) ) |
53 |
52
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) = ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∘f − ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) ) ) |
54 |
14
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ∈ ℂ ) |
55 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) |
56 |
54 55
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
57 |
15
|
recnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
58 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) |
59 |
57 58
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
60 |
|
eqid |
⊢ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) = ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) |
61 |
|
cncff |
⊢ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) –cn→ ℝ ) → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ ) |
62 |
6 61
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℝ ) |
63 |
1 2 3 4 60 62
|
fourierdlem28 |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) |
64 |
|
ioosscn |
⊢ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⊆ ℂ |
65 |
64
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⊆ ℂ ) |
66 |
|
ax-resscn |
⊢ ℝ ⊆ ℂ |
67 |
66
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ⊆ ℂ ) |
68 |
62 67
|
fssd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℂ ) |
69 |
|
ssid |
⊢ ℂ ⊆ ℂ |
70 |
69
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℂ ⊆ ℂ ) |
71 |
|
cncffvrn |
⊢ ( ( ℂ ⊆ ℂ ∧ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) –cn→ ℝ ) ) → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) –cn→ ℂ ) ↔ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℂ ) ) |
72 |
70 6 71
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) –cn→ ℂ ) ↔ ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) : ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ⟶ ℂ ) ) |
73 |
68 72
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ∈ ( ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) –cn→ ℂ ) ) |
74 |
|
ioosscn |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ |
75 |
74
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⊆ ℂ ) |
76 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
77 |
2 3
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
78 |
77
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* ) |
79 |
78
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) ∈ ℝ* ) |
80 |
2 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
81 |
80
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
82 |
81
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
83 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
84 |
83
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
85 |
4
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
86 |
85
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
87 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
88 |
|
ioogtlb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 ) |
89 |
84 86 87 88
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐴 < 𝑠 ) |
90 |
83 12 10 89
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝐴 ) < ( 𝑋 + 𝑠 ) ) |
91 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
92 |
|
iooltub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 ) |
93 |
84 86 87 92
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → 𝑠 < 𝐵 ) |
94 |
12 91 10 93
|
ltadd2dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) < ( 𝑋 + 𝐵 ) ) |
95 |
79 82 13 90 94
|
eliood |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) → ( 𝑋 + 𝑠 ) ∈ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) |
96 |
65 73 75 76 95
|
fourierdlem23 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( ℝ D ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑋 + 𝐴 ) (,) ( 𝑋 + 𝐵 ) ) ) ) ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
97 |
63 96
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
98 |
|
iooretop |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
99 |
|
eqid |
⊢ ( TopOpen ‘ ℂfld ) = ( TopOpen ‘ ℂfld ) |
100 |
99
|
tgioo2 |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) = ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
101 |
98 100
|
eleqtri |
⊢ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) |
102 |
101
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ∈ ( ( TopOpen ‘ ℂfld ) ↾t ℝ ) ) |
103 |
7
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
104 |
40 102 103
|
dvmptconst |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 0 ) ) |
105 |
|
0cnd |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℂ ) |
106 |
75 105 70
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 0 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
107 |
104 106
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
108 |
40 56 59 97 107
|
dvsubcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) ) ∘f − ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝐶 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
109 |
53 108
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
110 |
40 102
|
dvmptidg |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) = ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 1 ) ) |
111 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
112 |
75 111 70
|
constcncfg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 1 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
113 |
110 112
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
114 |
40 43 48 109 113
|
dvdivcncf |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D ( ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑋 + 𝑠 ) ) − 𝐶 ) ) ∘f / ( 𝑠 ∈ ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ↦ 𝑠 ) ) ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
115 |
38 114
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐻 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) |
116 |
|
cncff |
⊢ ( ( ℝ D 𝐻 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) → ( ℝ D 𝐻 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ ) |
117 |
|
fdm |
⊢ ( ( ℝ D 𝐻 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℂ → dom ( ℝ D 𝐻 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
118 |
115 116 117
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → dom ( ℝ D 𝐻 ) = ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ) |
119 |
118
|
feq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐻 ) : dom ( ℝ D 𝐻 ) ⟶ ℝ ↔ ( ℝ D 𝐻 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) ) |
120 |
31 119
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐻 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) |
121 |
|
cncffvrn |
⊢ ( ( ℝ ⊆ ℂ ∧ ( ℝ D 𝐻 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℂ ) ) → ( ( ℝ D 𝐻 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ↔ ( ℝ D 𝐻 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) ) |
122 |
67 115 121
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ D 𝐻 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ↔ ( ℝ D 𝐻 ) : ( 𝐴 (,) 𝐵 ) ⟶ ℝ ) ) |
123 |
120 122
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ D 𝐻 ) ∈ ( ( 𝐴 (,) 𝐵 ) –cn→ ℝ ) ) |