Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsumwcl.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
gsumsgrpccat.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑊 = ∅ → ( 𝑊 ++ 𝑋 ) = ( ∅ ++ 𝑋 ) ) |
4 |
3
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑊 = ∅ → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( 𝐺 Σg ( ∅ ++ 𝑋 ) ) ) |
5 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑊 = ∅ → ( 𝐺 Σg 𝑊 ) = ( 𝐺 Σg ∅ ) ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
7 |
6
|
gsum0 |
⊢ ( 𝐺 Σg ∅ ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
8 |
5 7
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑊 = ∅ → ( 𝐺 Σg 𝑊 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
9 |
8
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑊 = ∅ → ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ) |
10 |
4 9
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑊 = ∅ → ( ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ↔ ( 𝐺 Σg ( ∅ ++ 𝑋 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ) ) |
11 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑋 = ∅ → ( 𝑊 ++ 𝑋 ) = ( 𝑊 ++ ∅ ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 = ∅ → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ ∅ ) ) ) |
13 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑋 = ∅ → ( 𝐺 Σg 𝑋 ) = ( 𝐺 Σg ∅ ) ) |
14 |
13 7
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝑋 = ∅ → ( 𝐺 Σg 𝑋 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
15 |
14
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑋 = ∅ → ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
16 |
12 15
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑋 = ∅ → ( ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ↔ ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ ∅ ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
17 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
18 |
|
lennncl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ ) |
19 |
18
|
3ad2antl2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ ) |
20 |
19
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ ) |
21 |
|
lennncl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) → ( ♯ ‘ 𝑋 ) ∈ ℕ ) |
22 |
21
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) → ( ♯ ‘ 𝑋 ) ∈ ℕ ) |
23 |
22
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑋 ) ∈ ℕ ) |
24 |
20 23
|
nnaddcld |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℕ ) |
25 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℕ → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
26 |
24 25
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
27 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
28 |
26 27
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
29 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝐵 ) |
30 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) |
31 |
|
ccatcl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ∈ Word 𝐵 ) |
32 |
29 30 31
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ∈ Word 𝐵 ) |
33 |
|
wrdf |
⊢ ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ∈ Word 𝐵 → ( 𝑊 ++ 𝑋 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ) ⟶ 𝐵 ) |
34 |
32 33
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑊 ++ 𝑋 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ) ⟶ 𝐵 ) |
35 |
|
ccatlen |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) |
36 |
29 30 35
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) |
37 |
36
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ) = ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) ) |
38 |
20
|
nnzd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℤ ) |
39 |
23
|
nnzd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ ) |
40 |
38 39
|
zaddcld |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℤ ) |
41 |
|
fzoval |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ∈ ℤ → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 0 ... ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) |
42 |
40 41
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 0 ... ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) |
43 |
37 42
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ) = ( 0 ... ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) |
44 |
43
|
feq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ) ⟶ 𝐵 ↔ ( 𝑊 ++ 𝑋 ) : ( 0 ... ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) ) |
45 |
34 44
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑊 ++ 𝑋 ) : ( 0 ... ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
46 |
1 2 17 28 45
|
gsumval2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( seq 0 ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) |
47 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
48 |
20 47
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
49 |
48 27
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
50 |
|
wrdf |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝐵 → 𝑊 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
51 |
29 50
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝑊 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
52 |
|
fzoval |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℤ → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
53 |
38 52
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
54 |
53
|
feq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑊 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ⟶ 𝐵 ↔ 𝑊 : ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) ) |
55 |
51 54
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝑊 : ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
56 |
1 2 17 49 55
|
gsumval2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 Σg 𝑊 ) = ( seq 0 ( + , 𝑊 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
57 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) ∈ ℕ → ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
58 |
23 57
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
59 |
58 27
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
60 |
|
wrdf |
⊢ ( 𝑋 ∈ Word 𝐵 → 𝑋 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
61 |
30 60
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝑋 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
62 |
|
fzoval |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) ∈ ℤ → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) |
63 |
39 62
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) = ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) |
64 |
63
|
feq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑋 : ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ⟶ 𝐵 ↔ 𝑋 : ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) ) |
65 |
61 64
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 𝑋 : ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ⟶ 𝐵 ) |
66 |
1 2 17 59 65
|
gsumval2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 Σg 𝑋 ) = ( seq 0 ( + , 𝑋 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) |
67 |
56 66
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) = ( ( seq 0 ( + , 𝑊 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) + ( seq 0 ( + , 𝑋 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) ) |
68 |
1 2
|
mndcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
69 |
68
|
3expb |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
70 |
17 69
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 + 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
71 |
1 2
|
mndass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) + 𝑧 ) = ( 𝑥 + ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) |
72 |
17 71
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 + 𝑦 ) + 𝑧 ) = ( 𝑥 + ( 𝑦 + 𝑧 ) ) ) |
73 |
|
uzid |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℤ → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
74 |
38 73
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
75 |
|
uzaddcl |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∧ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
76 |
74 58 75
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
77 |
20
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℂ ) |
78 |
23
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ♯ ‘ 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
79 |
|
1cnd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
80 |
77 78 79
|
addsubassd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) |
81 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
82 |
|
npcan |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
83 |
77 81 82
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
84 |
83
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ℤ≥ ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) ) = ( ℤ≥ ‘ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
85 |
76 80 84
|
3eltr4d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) ) ) |
86 |
45
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) |
87 |
70 72 85 49 86
|
seqsplit |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) = ( ( seq 0 ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) + ( seq ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) ) |
88 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝐵 ) |
89 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) → 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) |
90 |
53
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) ) |
91 |
90
|
biimpar |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
92 |
|
ccatval1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) ) |
93 |
88 89 91 92
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝑊 ‘ 𝑥 ) ) |
94 |
49 93
|
seqfveq |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) = ( seq 0 ( + , 𝑊 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ) |
95 |
77
|
addid2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 0 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) = ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
96 |
83 95
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) = ( 0 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
97 |
96
|
seqeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → seq ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = seq ( 0 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ) |
98 |
77 78
|
addcomd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
99 |
98
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) − 1 ) ) |
100 |
78 77 79
|
addsubd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
101 |
99 100
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
102 |
97 101
|
fveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( seq ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) = ( seq ( 0 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
103 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝐵 ) |
104 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) → 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) |
105 |
63
|
eleq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) ) |
106 |
105
|
biimpar |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) |
107 |
|
ccatval3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ‘ ( 𝑥 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) = ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ) |
108 |
103 104 106 107
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ‘ ( 𝑥 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) = ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) ) |
109 |
108
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 ... ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ‘ ( 𝑥 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
110 |
59 38 109
|
seqshft2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( seq 0 ( + , 𝑋 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) = ( seq ( 0 + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) + ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
111 |
102 110
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( seq ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) = ( seq 0 ( + , 𝑋 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) |
112 |
94 111
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( seq 0 ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) + ( seq ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) + 1 ) ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) = ( ( seq 0 ( + , 𝑊 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) + ( seq 0 ( + , 𝑋 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) ) |
113 |
87 112
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( seq 0 ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) = ( ( seq 0 ( + , 𝑊 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) + ( seq 0 ( + , 𝑋 ) ‘ ( ( ♯ ‘ 𝑋 ) − 1 ) ) ) ) |
114 |
67 113
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) = ( seq 0 ( + , ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) ‘ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + ( ♯ ‘ 𝑋 ) ) − 1 ) ) ) |
115 |
46 114
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ) |
116 |
115
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) ∧ 𝑋 ≠ ∅ ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ) |
117 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → 𝑊 ∈ Word 𝐵 ) |
118 |
|
ccatrid |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝐵 → ( 𝑊 ++ ∅ ) = 𝑊 ) |
119 |
117 118
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( 𝑊 ++ ∅ ) = 𝑊 ) |
120 |
119
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ ∅ ) ) = ( 𝐺 Σg 𝑊 ) ) |
121 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
122 |
1
|
gsumwcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
123 |
122
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
124 |
123
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( 𝐺 Σg 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) |
125 |
1 2 6
|
mndrid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝐺 Σg 𝑊 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝐺 Σg 𝑊 ) ) |
126 |
121 124 125
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝐺 Σg 𝑊 ) ) |
127 |
120 126
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ ∅ ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
128 |
16 116 127
|
pm2.61ne |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) ∧ 𝑊 ≠ ∅ ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ) |
129 |
|
ccatlid |
⊢ ( 𝑋 ∈ Word 𝐵 → ( ∅ ++ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
130 |
129
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( ∅ ++ 𝑋 ) = 𝑋 ) |
131 |
130
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg ( ∅ ++ 𝑋 ) ) = ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) |
132 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → 𝐺 ∈ Mnd ) |
133 |
1
|
gsumwcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) |
134 |
1 2 6
|
mndlid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) = ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) |
135 |
132 133 134
|
3imp3i2an |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) = ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) |
136 |
131 135
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg ( ∅ ++ 𝑋 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ) |
137 |
10 128 136
|
pm2.61ne |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵 ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑊 ++ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐺 Σg 𝑊 ) + ( 𝐺 Σg 𝑋 ) ) ) |