Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hausdiag.x |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
2 |
1
|
ishaus |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( 𝑎 ≠ 𝑏 → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) ) |
3 |
|
txtop |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top ) → ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∈ Top ) |
4 |
3
|
anidms |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∈ Top ) |
5 |
|
idssxp |
⊢ ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ ( 𝑋 × 𝑋 ) |
6 |
1 1
|
txuni |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top ) → ( 𝑋 × 𝑋 ) = ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) |
7 |
6
|
anidms |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑋 × 𝑋 ) = ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) |
8 |
5 7
|
sseqtrid |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) = ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) |
10 |
9
|
iscld2 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∈ Top ∧ ( I ↾ 𝑋 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) → ( ( I ↾ 𝑋 ) ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ↔ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∈ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ) |
11 |
4 8 10
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( I ↾ 𝑋 ) ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ↔ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∈ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ) |
12 |
|
eltx |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ Top ) → ( ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∈ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ↔ ∀ 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) |
13 |
12
|
anidms |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∈ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ↔ ∀ 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) |
14 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∧ ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) |
15 |
7
|
eqcomd |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) = ( 𝑋 × 𝑋 ) ) |
16 |
15
|
eleq2d |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑒 ∈ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ↔ 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) ) |
17 |
16
|
anbi1d |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( 𝑒 ∈ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∧ ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) |
18 |
14 17
|
syl5bb |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) |
19 |
18
|
imbi1d |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) ) |
20 |
|
impexp |
⊢ ( ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∧ ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) → ( ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) ) |
21 |
19 20
|
bitrdi |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ( 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ( 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) → ( ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) ) ) |
22 |
21
|
ralbidv2 |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ∀ 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ∀ 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ( ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) ) |
23 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑒 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) |
24 |
23
|
notbid |
⊢ ( 𝑒 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ↔ ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) |
25 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑒 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ) ) |
26 |
25
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑒 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑒 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) |
28 |
24 27
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑒 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ( ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ( ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) ) |
29 |
28
|
ralxp |
⊢ ( ∀ 𝑒 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ( ¬ 𝑒 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) |
30 |
22 29
|
bitrdi |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ∀ 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ) ) |
31 |
|
vex |
⊢ 𝑏 ∈ V |
32 |
31
|
opelresi |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) ) |
33 |
|
ibar |
⊢ ( 𝑎 ∈ 𝑋 → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) ) ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) ) ) |
35 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑎 I 𝑏 ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) |
36 |
31
|
ideq |
⊢ ( 𝑎 I 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏 ) |
37 |
35 36
|
bitr3i |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ↔ 𝑎 = 𝑏 ) |
38 |
34 37
|
bitr3di |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ I ) ↔ 𝑎 = 𝑏 ) ) |
39 |
32 38
|
syl5bb |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ↔ 𝑎 = 𝑏 ) ) |
40 |
39
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ↔ 𝑎 = 𝑏 ) ) |
41 |
40
|
necon3bbid |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) → ( ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) ↔ 𝑎 ≠ 𝑏 ) ) |
42 |
|
elssuni |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐽 → 𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
43 |
|
elssuni |
⊢ ( 𝑑 ∈ 𝐽 → 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
44 |
|
xpss12 |
⊢ ( ( 𝑐 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑑 ⊆ ∪ 𝐽 ) → ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ 𝐽 × ∪ 𝐽 ) ) |
45 |
42 43 44
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ 𝐽 × ∪ 𝐽 ) ) |
46 |
1 1
|
xpeq12i |
⊢ ( 𝑋 × 𝑋 ) = ( ∪ 𝐽 × ∪ 𝐽 ) |
47 |
45 46
|
sseqtrrdi |
⊢ ( ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) |
48 |
47
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) |
49 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( 𝑋 × 𝑋 ) = ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) |
50 |
48 49
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) |
51 |
|
reldisj |
⊢ ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) → ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ↾ 𝑋 ) ) = ∅ ↔ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) |
52 |
50 51
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ↾ 𝑋 ) ) = ∅ ↔ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) |
53 |
|
df-res |
⊢ ( I ↾ 𝑋 ) = ( I ∩ ( 𝑋 × V ) ) |
54 |
53
|
ineq2i |
⊢ ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ↾ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ∩ ( 𝑋 × V ) ) ) |
55 |
|
inass |
⊢ ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ∩ ( 𝑋 × V ) ) = ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ∩ ( 𝑋 × V ) ) ) |
56 |
|
inss1 |
⊢ ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ⊆ ( 𝑐 × 𝑑 ) |
57 |
56 48
|
sstrid |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ⊆ ( 𝑋 × 𝑋 ) ) |
58 |
|
ssv |
⊢ 𝑋 ⊆ V |
59 |
|
xpss2 |
⊢ ( 𝑋 ⊆ V → ( 𝑋 × 𝑋 ) ⊆ ( 𝑋 × V ) ) |
60 |
58 59
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑋 × 𝑋 ) ⊆ ( 𝑋 × V ) |
61 |
57 60
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ⊆ ( 𝑋 × V ) ) |
62 |
|
df-ss |
⊢ ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ⊆ ( 𝑋 × V ) ↔ ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ∩ ( 𝑋 × V ) ) = ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ) |
63 |
61 62
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ∩ ( 𝑋 × V ) ) = ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ) |
64 |
55 63
|
syl5eqr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ∩ ( 𝑋 × V ) ) ) = ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ) |
65 |
54 64
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ↾ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) ) |
66 |
65
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ↾ 𝑋 ) ) = ∅ ↔ ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) = ∅ ) ) |
67 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑎 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑎 ∈ 𝑑 ) ) |
68 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑎 ( 𝑐 × 𝑑 ) 𝑎 ↔ 〈 𝑎 , 𝑎 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ) |
69 |
|
elin |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑎 ∈ 𝑑 ) ) |
70 |
67 68 69
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑎 ( 𝑐 × 𝑑 ) 𝑎 ↔ 𝑎 ∈ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) ) |
71 |
70
|
notbii |
⊢ ( ¬ 𝑎 ( 𝑐 × 𝑑 ) 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 ∈ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) ) |
72 |
71
|
albii |
⊢ ( ∀ 𝑎 ¬ 𝑎 ( 𝑐 × 𝑑 ) 𝑎 ↔ ∀ 𝑎 ¬ 𝑎 ∈ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) ) |
73 |
|
intirr |
⊢ ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) = ∅ ↔ ∀ 𝑎 ¬ 𝑎 ( 𝑐 × 𝑑 ) 𝑎 ) |
74 |
|
eq0 |
⊢ ( ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ↔ ∀ 𝑎 ¬ 𝑎 ∈ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) ) |
75 |
72 73 74
|
3bitr4i |
⊢ ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ I ) = ∅ ↔ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) |
76 |
66 75
|
bitrdi |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ∩ ( I ↾ 𝑋 ) ) = ∅ ↔ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) |
77 |
52 76
|
bitr3d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ↔ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) |
78 |
77
|
anbi2d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ( ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) |
79 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ) ) |
80 |
79
|
anbi1i |
⊢ ( ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ( ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) |
81 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ↔ ( ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) |
82 |
78 80 81
|
3bitr4g |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ 𝐽 ∧ 𝑑 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) |
83 |
82
|
2rexbidva |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) |
84 |
41 83
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ( 𝑎 ≠ 𝑏 → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) ) |
85 |
84
|
2ralbidva |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( ¬ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( I ↾ 𝑋 ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( 𝑎 ≠ 𝑏 → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) ) |
86 |
30 85
|
bitrd |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ∀ 𝑒 ∈ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑒 ∈ ( 𝑐 × 𝑑 ) ∧ ( 𝑐 × 𝑑 ) ⊆ ( ∪ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ∖ ( I ↾ 𝑋 ) ) ) ↔ ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( 𝑎 ≠ 𝑏 → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) ) |
87 |
11 13 86
|
3bitrrd |
⊢ ( 𝐽 ∈ Top → ( ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( 𝑎 ≠ 𝑏 → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ↔ ( I ↾ 𝑋 ) ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ) ) |
88 |
87
|
pm5.32i |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝑋 ∀ 𝑏 ∈ 𝑋 ( 𝑎 ≠ 𝑏 → ∃ 𝑐 ∈ 𝐽 ∃ 𝑑 ∈ 𝐽 ( 𝑎 ∈ 𝑐 ∧ 𝑏 ∈ 𝑑 ∧ ( 𝑐 ∩ 𝑑 ) = ∅ ) ) ) ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( I ↾ 𝑋 ) ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ) ) |
89 |
2 88
|
bitri |
⊢ ( 𝐽 ∈ Haus ↔ ( 𝐽 ∈ Top ∧ ( I ↾ 𝑋 ) ∈ ( Clsd ‘ ( 𝐽 ×t 𝐽 ) ) ) ) |