Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hausdiag.x |
|- X = U. J |
2 |
1
|
ishaus |
|- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) ) |
3 |
|
txtop |
|- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( J tX J ) e. Top ) |
4 |
3
|
anidms |
|- ( J e. Top -> ( J tX J ) e. Top ) |
5 |
|
idssxp |
|- ( _I |` X ) C_ ( X X. X ) |
6 |
1 1
|
txuni |
|- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) ) |
7 |
6
|
anidms |
|- ( J e. Top -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) ) |
8 |
5 7
|
sseqtrid |
|- ( J e. Top -> ( _I |` X ) C_ U. ( J tX J ) ) |
9 |
|
eqid |
|- U. ( J tX J ) = U. ( J tX J ) |
10 |
9
|
iscld2 |
|- ( ( ( J tX J ) e. Top /\ ( _I |` X ) C_ U. ( J tX J ) ) -> ( ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) <-> ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) ) ) |
11 |
4 8 10
|
syl2anc |
|- ( J e. Top -> ( ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) <-> ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) ) ) |
12 |
|
eltx |
|- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) <-> A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) |
13 |
12
|
anidms |
|- ( J e. Top -> ( ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) <-> A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) |
14 |
|
eldif |
|- ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) <-> ( e e. U. ( J tX J ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) ) |
15 |
7
|
eqcomd |
|- ( J e. Top -> U. ( J tX J ) = ( X X. X ) ) |
16 |
15
|
eleq2d |
|- ( J e. Top -> ( e e. U. ( J tX J ) <-> e e. ( X X. X ) ) ) |
17 |
16
|
anbi1d |
|- ( J e. Top -> ( ( e e. U. ( J tX J ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) ) ) |
18 |
14 17
|
syl5bb |
|- ( J e. Top -> ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) ) ) |
19 |
18
|
imbi1d |
|- ( J e. Top -> ( ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) ) |
20 |
|
impexp |
|- ( ( ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) -> ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) ) |
21 |
19 20
|
bitrdi |
|- ( J e. Top -> ( ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) -> ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) ) ) |
22 |
21
|
ralbidv2 |
|- ( J e. Top -> ( A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> A. e e. ( X X. X ) ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) ) |
23 |
|
eleq1 |
|- ( e = <. a , b >. -> ( e e. ( _I |` X ) <-> <. a , b >. e. ( _I |` X ) ) ) |
24 |
23
|
notbid |
|- ( e = <. a , b >. -> ( -. e e. ( _I |` X ) <-> -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) ) ) |
25 |
|
eleq1 |
|- ( e = <. a , b >. -> ( e e. ( c X. d ) <-> <. a , b >. e. ( c X. d ) ) ) |
26 |
25
|
anbi1d |
|- ( e = <. a , b >. -> ( ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
2rexbidv |
|- ( e = <. a , b >. -> ( E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) |
28 |
24 27
|
imbi12d |
|- ( e = <. a , b >. -> ( ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) ) |
29 |
28
|
ralxp |
|- ( A. e e. ( X X. X ) ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) |
30 |
22 29
|
bitrdi |
|- ( J e. Top -> ( A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) ) |
31 |
|
vex |
|- b e. _V |
32 |
31
|
opelresi |
|- ( <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> ( a e. X /\ <. a , b >. e. _I ) ) |
33 |
|
ibar |
|- ( a e. X -> ( <. a , b >. e. _I <-> ( a e. X /\ <. a , b >. e. _I ) ) ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( <. a , b >. e. _I <-> ( a e. X /\ <. a , b >. e. _I ) ) ) |
35 |
|
df-br |
|- ( a _I b <-> <. a , b >. e. _I ) |
36 |
31
|
ideq |
|- ( a _I b <-> a = b ) |
37 |
35 36
|
bitr3i |
|- ( <. a , b >. e. _I <-> a = b ) |
38 |
34 37
|
bitr3di |
|- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( ( a e. X /\ <. a , b >. e. _I ) <-> a = b ) ) |
39 |
32 38
|
syl5bb |
|- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> a = b ) ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> a = b ) ) |
41 |
40
|
necon3bbid |
|- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> a =/= b ) ) |
42 |
|
elssuni |
|- ( c e. J -> c C_ U. J ) |
43 |
|
elssuni |
|- ( d e. J -> d C_ U. J ) |
44 |
|
xpss12 |
|- ( ( c C_ U. J /\ d C_ U. J ) -> ( c X. d ) C_ ( U. J X. U. J ) ) |
45 |
42 43 44
|
syl2an |
|- ( ( c e. J /\ d e. J ) -> ( c X. d ) C_ ( U. J X. U. J ) ) |
46 |
1 1
|
xpeq12i |
|- ( X X. X ) = ( U. J X. U. J ) |
47 |
45 46
|
sseqtrrdi |
|- ( ( c e. J /\ d e. J ) -> ( c X. d ) C_ ( X X. X ) ) |
48 |
47
|
adantl |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( c X. d ) C_ ( X X. X ) ) |
49 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) ) |
50 |
48 49
|
sseqtrd |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( c X. d ) C_ U. ( J tX J ) ) |
51 |
|
reldisj |
|- ( ( c X. d ) C_ U. ( J tX J ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) |
52 |
50 51
|
syl |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) |
53 |
|
df-res |
|- ( _I |` X ) = ( _I i^i ( X X. _V ) ) |
54 |
53
|
ineq2i |
|- ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = ( ( c X. d ) i^i ( _I i^i ( X X. _V ) ) ) |
55 |
|
inass |
|- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) i^i ( X X. _V ) ) = ( ( c X. d ) i^i ( _I i^i ( X X. _V ) ) ) |
56 |
|
inss1 |
|- ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( c X. d ) |
57 |
56 48
|
sstrid |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( X X. X ) ) |
58 |
|
ssv |
|- X C_ _V |
59 |
|
xpss2 |
|- ( X C_ _V -> ( X X. X ) C_ ( X X. _V ) ) |
60 |
58 59
|
ax-mp |
|- ( X X. X ) C_ ( X X. _V ) |
61 |
57 60
|
sstrdi |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( X X. _V ) ) |
62 |
|
df-ss |
|- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( X X. _V ) <-> ( ( ( c X. d ) i^i _I ) i^i ( X X. _V ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) ) |
63 |
61 62
|
sylib |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i _I ) i^i ( X X. _V ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) ) |
64 |
55 63
|
syl5eqr |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i ( _I i^i ( X X. _V ) ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) ) |
65 |
54 64
|
syl5eq |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) ) |
66 |
65
|
eqeq1d |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( ( c X. d ) i^i _I ) = (/) ) ) |
67 |
|
opelxp |
|- ( <. a , a >. e. ( c X. d ) <-> ( a e. c /\ a e. d ) ) |
68 |
|
df-br |
|- ( a ( c X. d ) a <-> <. a , a >. e. ( c X. d ) ) |
69 |
|
elin |
|- ( a e. ( c i^i d ) <-> ( a e. c /\ a e. d ) ) |
70 |
67 68 69
|
3bitr4i |
|- ( a ( c X. d ) a <-> a e. ( c i^i d ) ) |
71 |
70
|
notbii |
|- ( -. a ( c X. d ) a <-> -. a e. ( c i^i d ) ) |
72 |
71
|
albii |
|- ( A. a -. a ( c X. d ) a <-> A. a -. a e. ( c i^i d ) ) |
73 |
|
intirr |
|- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) = (/) <-> A. a -. a ( c X. d ) a ) |
74 |
|
eq0 |
|- ( ( c i^i d ) = (/) <-> A. a -. a e. ( c i^i d ) ) |
75 |
72 73 74
|
3bitr4i |
|- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) = (/) <-> ( c i^i d ) = (/) ) |
76 |
66 75
|
bitrdi |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( c i^i d ) = (/) ) ) |
77 |
52 76
|
bitr3d |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) <-> ( c i^i d ) = (/) ) ) |
78 |
77
|
anbi2d |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) |
79 |
|
opelxp |
|- ( <. a , b >. e. ( c X. d ) <-> ( a e. c /\ b e. d ) ) |
80 |
79
|
anbi1i |
|- ( ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) |
81 |
|
df-3an |
|- ( ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) <-> ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) |
82 |
78 80 81
|
3bitr4g |
|- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) |
83 |
82
|
2rexbidva |
|- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) |
84 |
41 83
|
imbi12d |
|- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) ) |
85 |
84
|
2ralbidva |
|- ( J e. Top -> ( A. a e. X A. b e. X ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) ) |
86 |
30 85
|
bitrd |
|- ( J e. Top -> ( A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) ) |
87 |
11 13 86
|
3bitrrd |
|- ( J e. Top -> ( A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) <-> ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) ) ) |
88 |
87
|
pm5.32i |
|- ( ( J e. Top /\ A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) <-> ( J e. Top /\ ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) ) ) |
89 |
2 88
|
bitri |
|- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) ) ) |