Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ip2eq.h |
โข , = ( ยท๐ โ ๐ ) |
2 |
|
ip2eq.v |
โข ๐ = ( Base โ ๐ ) |
3 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ด = ๐ต โ ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ๐ฅ , ๐ต ) ) |
4 |
3
|
ralrimivw |
โข ( ๐ด = ๐ต โ โ ๐ฅ โ ๐ ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ๐ฅ , ๐ต ) ) |
5 |
|
phllmod |
โข ( ๐ โ PreHil โ ๐ โ LMod ) |
6 |
|
eqid |
โข ( -g โ ๐ ) = ( -g โ ๐ ) |
7 |
2 6
|
lmodvsubcl |
โข ( ( ๐ โ LMod โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ๐ ) |
8 |
5 7
|
syl3an1 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ๐ ) |
9 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) ) |
10 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ( ๐ฅ , ๐ต ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) |
11 |
9 10
|
eqeq12d |
โข ( ๐ฅ = ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ( ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ๐ฅ , ๐ต ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) ) |
12 |
11
|
rspcv |
โข ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ๐ โ ( โ ๐ฅ โ ๐ ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ๐ฅ , ๐ต ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) ) |
13 |
8 12
|
syl |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( โ ๐ฅ โ ๐ ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ๐ฅ , ๐ต ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) ) |
14 |
|
simp1 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ๐ โ PreHil ) |
15 |
|
simp2 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ๐ด โ ๐ ) |
16 |
|
simp3 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ๐ต โ ๐ ) |
17 |
|
eqid |
โข ( Scalar โ ๐ ) = ( Scalar โ ๐ ) |
18 |
|
eqid |
โข ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) = ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) |
19 |
17 1 2 6 18
|
ipsubdi |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ๐ โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) ) = ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) ) |
20 |
14 8 15 16 19
|
syl13anc |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) ) = ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) ) |
21 |
20
|
eqeq1d |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) ) |
22 |
|
eqid |
โข ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) |
23 |
|
eqid |
โข ( 0g โ ๐ ) = ( 0g โ ๐ ) |
24 |
17 1 2 22 23
|
ipeq0 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) = ( 0g โ ๐ ) ) ) |
25 |
14 8 24
|
syl2anc |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) = ( 0g โ ๐ ) ) ) |
26 |
21 25
|
bitr3d |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) = ( 0g โ ๐ ) ) ) |
27 |
5
|
3ad2ant1 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ๐ โ LMod ) |
28 |
17
|
lmodfgrp |
โข ( ๐ โ LMod โ ( Scalar โ ๐ ) โ Grp ) |
29 |
27 28
|
syl |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( Scalar โ ๐ ) โ Grp ) |
30 |
|
eqid |
โข ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) = ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) |
31 |
17 1 2 30
|
ipcl |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ๐ โง ๐ด โ ๐ ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
32 |
14 8 15 31
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
33 |
17 1 2 30
|
ipcl |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
34 |
14 8 16 33
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) |
35 |
30 22 18
|
grpsubeq0 |
โข ( ( ( Scalar โ ๐ ) โ Grp โง ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) โง ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) โ ( Base โ ( Scalar โ ๐ ) ) ) โ ( ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) ) |
36 |
29 32 34 35
|
syl3anc |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) ( -g โ ( Scalar โ ๐ ) ) ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) = ( 0g โ ( Scalar โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) ) ) |
37 |
|
lmodgrp |
โข ( ๐ โ LMod โ ๐ โ Grp ) |
38 |
5 37
|
syl |
โข ( ๐ โ PreHil โ ๐ โ Grp ) |
39 |
2 23 6
|
grpsubeq0 |
โข ( ( ๐ โ Grp โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) = ( 0g โ ๐ ) โ ๐ด = ๐ต ) ) |
40 |
38 39
|
syl3an1 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) = ( 0g โ ๐ ) โ ๐ด = ๐ต ) ) |
41 |
26 36 40
|
3bitr3d |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ด ) = ( ( ๐ด ( -g โ ๐ ) ๐ต ) , ๐ต ) โ ๐ด = ๐ต ) ) |
42 |
13 41
|
sylibd |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( โ ๐ฅ โ ๐ ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ๐ฅ , ๐ต ) โ ๐ด = ๐ต ) ) |
43 |
4 42
|
impbid2 |
โข ( ( ๐ โ PreHil โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ ) โ ( ๐ด = ๐ต โ โ ๐ฅ โ ๐ ( ๐ฅ , ๐ด ) = ( ๐ฅ , ๐ต ) ) ) |