Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgmulc2nc.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
2 |
|
itgmulc2nc.2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
itgmulc2nc.3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ) |
4 |
|
itgmulc2nc.m |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ MblFn ) |
5 |
|
itgmulc2nc.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
6 |
|
itgmulc2nc.5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
7 |
|
itgmulc2nc.6 |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐶 ) |
8 |
|
itgmulc2nc.7 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐵 ) |
9 |
|
elrege0 |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) ) |
10 |
6 8 9
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
11 |
|
0e0icopnf |
⊢ 0 ∈ ( 0 [,) +∞ ) |
12 |
11
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
13 |
10 12
|
ifclda |
⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
15 |
14
|
fmpttd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) ) |
16 |
6 8
|
iblpos |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) ) |
17 |
3 16
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) |
18 |
17
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) |
19 |
|
elrege0 |
⊢ ( 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) ) |
20 |
5 7 19
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) |
21 |
15 18 20
|
itg2mulc |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) = ( 𝐶 · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) ) |
22 |
|
reex |
⊢ ℝ ∈ V |
23 |
22
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ℝ ∈ V ) |
24 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
25 |
|
fconstmpt |
⊢ ( ℝ × { 𝐶 } ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶 ) |
26 |
25
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ℝ × { 𝐶 } ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶 ) ) |
27 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) |
28 |
23 24 14 26 27
|
offval2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐶 · if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) |
29 |
|
ovif2 |
⊢ ( 𝐶 · if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , ( 𝐶 · 0 ) ) |
30 |
1
|
mul01d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · 0 ) = 0 ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 · 0 ) = 0 ) |
32 |
31
|
ifeq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , ( 𝐶 · 0 ) ) = if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) |
33 |
29 32
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 · if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) |
34 |
33
|
mpteq2dva |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐶 · if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) |
35 |
28 34
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) |
36 |
35
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) |
37 |
21 36
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) |
38 |
6 3 8
|
itgposval |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) |
39 |
38
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( 𝐶 · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) ) |
40 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
41 |
40 6
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
42 |
1 2 3 4
|
iblmulc2nc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 ) |
43 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ 𝐶 ) |
44 |
40 6 43 8
|
mulge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 0 ≤ ( 𝐶 · 𝐵 ) ) |
45 |
41 42 44
|
itgposval |
⊢ ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐶 · 𝐵 ) d 𝑥 = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥 ∈ 𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) ) |
46 |
37 39 45
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( 𝐶 · 𝐵 ) d 𝑥 ) |