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Theorem itgmulc2nclem1

Description: Lemma for itgmulc2nc ; cf. itgmulc2lem1 . (Contributed by Brendan Leahy, 17-Nov-2017)

Ref Expression
Hypotheses itgmulc2nc.1 ( 𝜑𝐶 ∈ ℂ )
itgmulc2nc.2 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐵𝑉 )
itgmulc2nc.3 ( 𝜑 → ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
itgmulc2nc.m ( 𝜑 → ( 𝑥𝐴 ↦ ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ MblFn )
itgmulc2nc.4 ( 𝜑𝐶 ∈ ℝ )
itgmulc2nc.5 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
itgmulc2nc.6 ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐶 )
itgmulc2nc.7 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 0 ≤ 𝐵 )
Assertion itgmulc2nclem1 ( 𝜑 → ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( 𝐶 · 𝐵 ) d 𝑥 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 itgmulc2nc.1 ( 𝜑𝐶 ∈ ℂ )
2 itgmulc2nc.2 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐵𝑉 )
3 itgmulc2nc.3 ( 𝜑 → ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ 𝐿1 )
4 itgmulc2nc.m ( 𝜑 → ( 𝑥𝐴 ↦ ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ MblFn )
5 itgmulc2nc.4 ( 𝜑𝐶 ∈ ℝ )
6 itgmulc2nc.5 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℝ )
7 itgmulc2nc.6 ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐶 )
8 itgmulc2nc.7 ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 0 ≤ 𝐵 )
9 elrege0 ( 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ) )
10 6 8 9 sylanbrc ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
11 0e0icopnf 0 ∈ ( 0 [,) +∞ )
12 11 a1i ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴 ) → 0 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
13 10 12 ifclda ( 𝜑 → if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
14 13 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
15 14 fmpttd ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) : ℝ ⟶ ( 0 [,) +∞ ) )
16 6 8 iblpos ( 𝜑 → ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ 𝐿1 ↔ ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) ) )
17 3 16 mpbid ( 𝜑 → ( ( 𝑥𝐴𝐵 ) ∈ MblFn ∧ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ ) )
18 17 simprd ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ∈ ℝ )
19 elrege0 ( 𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ↔ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶 ) )
20 5 7 19 sylanbrc ( 𝜑𝐶 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
21 15 18 20 itg2mulc ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) = ( 𝐶 · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) )
22 reex ℝ ∈ V
23 22 a1i ( 𝜑 → ℝ ∈ V )
24 1 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
25 fconstmpt ( ℝ × { 𝐶 } ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶 )
26 25 a1i ( 𝜑 → ( ℝ × { 𝐶 } ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝐶 ) )
27 eqidd ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) )
28 23 24 14 26 27 offval2 ( 𝜑 → ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐶 · if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) )
29 ovif2 ( 𝐶 · if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , ( 𝐶 · 0 ) )
30 1 mul01d ( 𝜑 → ( 𝐶 · 0 ) = 0 )
31 30 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 · 0 ) = 0 )
32 31 ifeq2d ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , ( 𝐶 · 0 ) ) = if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) )
33 29 32 syl5eq ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 · if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) = if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) )
34 33 mpteq2dva ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ( 𝐶 · if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) )
35 28 34 eqtrd ( 𝜑 → ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) )
36 35 fveq2d ( 𝜑 → ( ∫2 ‘ ( ( ℝ × { 𝐶 } ) ∘f · ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) )
37 21 36 eqtr3d ( 𝜑 → ( 𝐶 · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) )
38 6 3 8 itgposval ( 𝜑 → ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) )
39 38 oveq2d ( 𝜑 → ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ( 𝐶 · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , 𝐵 , 0 ) ) ) ) )
40 5 adantr ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℝ )
41 40 6 remulcld ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → ( 𝐶 · 𝐵 ) ∈ ℝ )
42 1 2 3 4 iblmulc2nc ( 𝜑 → ( 𝑥𝐴 ↦ ( 𝐶 · 𝐵 ) ) ∈ 𝐿1 )
43 7 adantr ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 0 ≤ 𝐶 )
44 40 6 43 8 mulge0d ( ( 𝜑𝑥𝐴 ) → 0 ≤ ( 𝐶 · 𝐵 ) )
45 41 42 44 itgposval ( 𝜑 → ∫ 𝐴 ( 𝐶 · 𝐵 ) d 𝑥 = ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ if ( 𝑥𝐴 , ( 𝐶 · 𝐵 ) , 0 ) ) ) )
46 37 39 45 3eqtr4d ( 𝜑 → ( 𝐶 · ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 ) = ∫ 𝐴 ( 𝐶 · 𝐵 ) d 𝑥 )