Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lhpex1.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
lhpex1.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
lhpex1.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
5 |
1 2 3
|
lhpexle2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) |
7 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑝 ≤ 𝑊 ) |
8 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
9 |
|
simp1r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑋 = 𝑌 ) |
10 |
8 9
|
neeqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑌 ) |
11 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑍 ) |
12 |
8 10 11
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) → ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) |
13 |
7 12
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
14 |
13
|
3exp |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
reximdvai |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) ) |
16 |
6 15
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 = 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
17 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑝 ≤ 𝑊 ) |
18 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
20 |
19
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
21 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
22 |
21 2
|
atbase |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
23 |
22
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
24 |
|
simp121 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
25 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
26 |
21 2
|
atbase |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
28 |
|
simp122 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐴 ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝐴 ) |
30 |
21 2
|
atbase |
⊢ ( 𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
31 |
29 30
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
32 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) |
33 |
|
eqid |
⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 ) |
34 |
21 1 33
|
latnlej1l |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
35 |
20 23 27 31 32 34
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
36 |
21 1 33
|
latnlej1r |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑌 ) |
37 |
20 23 27 31 32 36
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑌 ) |
38 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) |
39 |
|
nbrne2 |
⊢ ( ( 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑍 ≠ 𝑝 ) |
40 |
39
|
necomd |
⊢ ( ( 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑍 ) |
41 |
38 32 40
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑍 ) |
42 |
35 37 41
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) |
43 |
17 42
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
44 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
45 |
|
simp131 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑋 ≤ 𝑊 ) |
46 |
|
simp132 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑌 ≤ 𝑊 ) |
47 |
|
eqid |
⊢ ( lt ‘ 𝐾 ) = ( lt ‘ 𝐾 ) |
48 |
1 47 33 2 3
|
lhp2lt |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
49 |
44 24 45 28 46 48
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
50 |
21 33 2
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
51 |
18 24 28 50
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
52 |
|
simp11r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
53 |
21 3
|
lhpbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
54 |
52 53
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
55 |
21 1 47 2
|
hlrelat1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑊 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) |
56 |
18 51 54 55
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ( ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑊 → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) ) |
57 |
49 56
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊 ) ) |
58 |
43 57
|
reximddv |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
59 |
58
|
3expa |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
60 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
61 |
60
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
62 |
61
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
63 |
22
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
64 |
|
simp121 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
65 |
64
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
66 |
|
simp122 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐴 ) |
67 |
66
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝐴 ) |
68 |
61 65 67 50
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
69 |
|
simp11r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 ) |
71 |
70 53
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
72 |
|
simprr3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) |
73 |
|
simp131 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑋 ≤ 𝑊 ) |
74 |
73
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑋 ≤ 𝑊 ) |
75 |
|
simp132 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑌 ≤ 𝑊 ) |
76 |
75
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑌 ≤ 𝑊 ) |
77 |
65 26
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
78 |
67 30
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
79 |
21 1 33
|
latjle12 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ≤ 𝑊 ) ) |
80 |
62 77 78 71 79
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ) ↔ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ≤ 𝑊 ) ) |
81 |
74 76 80
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ≤ 𝑊 ) |
82 |
21 1 62 63 68 71 72 81
|
lattrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≤ 𝑊 ) |
83 |
|
simprr1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
84 |
|
simprr2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑌 ) |
85 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) |
86 |
|
nbrne2 |
⊢ ( ( 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑝 ≠ 𝑍 ) |
87 |
72 85 86
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑍 ) |
88 |
83 84 87
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) |
89 |
82 88
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) ) → ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
90 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → 𝑋 ≠ 𝑌 ) |
91 |
1 33 2
|
hlsupr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
92 |
60 64 66 90 91
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) ) |
93 |
89 92
|
reximddv |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
94 |
93
|
3expa |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) ∧ ¬ 𝑍 ≤ ( 𝑋 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
95 |
59 94
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |
96 |
16 95
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍 ) ) ) |