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Theorem lincresunit3lem1

Description: Lemma 1 for lincresunit3 . (Contributed by AV, 17-May-2019)

Ref Expression
Hypotheses lincresunit.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
lincresunit.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
lincresunit.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
lincresunit.u ⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
lincresunit.0 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
lincresunit.z ⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
lincresunit.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
lincresunit.i ⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
lincresunit.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
lincresunit.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
Assertion lincresunit3lem1 ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lincresunit.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
2 lincresunit.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
3 lincresunit.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
4 lincresunit.u ⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
5 lincresunit.0 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
6 lincresunit.z ⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
7 lincresunit.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
8 lincresunit.i ⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
9 lincresunit.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
10 lincresunit.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
11 fveq2 ⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
12 11 oveq2d ⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
13 simpr3 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) )
14 ovexd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ V )
15 10 12 13 14 fvmptd3 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) )
16 15 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
17 16 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) )
18 simp2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ LMod )
19 18 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
20 2 lmodfgrp ⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp )
21 20 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Grp )
22 3 4 unitcl ⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
23 22 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
24 3 7 grpinvcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
25 21 23 24 syl2an ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
26 3simpa ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) )
27 26 anim2i ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) )
28 eldifi ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑧 ∈ 𝑆 )
29 28 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝑆 )
30 29 adantl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑆 )
31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunitlem2 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ 𝐸 )
32 27 30 31 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ 𝐸 )
33 elpwi ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
34 33 sseld ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
35 28 34 syl5com ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
36 35 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
37 36 com12 ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
38 37 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
39 38 imp ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
40 eqid ⊢ ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑀 )
41 1 2 40 3 9 lmodvsass ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) · ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) )
42 41 eqcomd ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 ∧ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) · ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
43 19 25 32 39 42 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) · ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
44 2 lmodring ⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring )
45 44 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Ring )
46 45 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring )
47 elmapi ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 )
48 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 )
49 47 28 48 syl2an ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 )
50 49 3adant2 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 )
51 50 adantl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 )
52 simp2 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 )
53 52 adantl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 )
54 3 4 7 8 9 invginvrid ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) · ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
55 46 51 53 54 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) · ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
56 55 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) · ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
57 17 43 56 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )