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Theorem lincresunit3

Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses lincresunit.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
lincresunit.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
lincresunit.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
lincresunit.u ⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
lincresunit.0 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
lincresunit.z ⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
lincresunit.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
lincresunit.i ⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
lincresunit.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
lincresunit.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
Assertion lincresunit3 ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = 𝑋 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lincresunit.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
2 lincresunit.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
3 lincresunit.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
4 lincresunit.u ⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
5 lincresunit.0 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
6 lincresunit.z ⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
7 lincresunit.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
8 lincresunit.i ⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
9 lincresunit.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
10 lincresunit.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
11 simp2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ LMod )
12 11 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → 𝑀 ∈ LMod )
13 simp1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) )
14 3simpa ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) )
15 14 3ad2ant2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) )
16 13 15 jca ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) )
17 eldifi ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝑆 )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunitlem2 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐸 )
19 16 17 18 syl2an ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐸 )
20 2 fveq2i ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) )
21 3 20 eqtri ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) )
22 19 21 eleqtrdi ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) )
23 22 10 fmptd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) )
24 fvex ⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ∈ V
25 difexg ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
26 25 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
27 26 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
28 elmapg ⊢ ( ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ∈ V ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ↔ 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ) )
29 24 27 28 sylancr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ↔ 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ) )
30 23 29 mpbird ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
31 difexg ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
32 31 adantl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
33 ssdifss ⊢ ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
34 33 a1i ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
35 elpwi ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
36 34 35 impel ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
37 32 36 elpwd ⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
38 37 expcom ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
39 1 pweqi ⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 )
40 38 39 eleq2s ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
41 40 imp ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
42 41 3adant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
43 42 3ad2ant1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
44 lincval ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) )
45 12 30 43 44 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) )
46 simp1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 )
47 simp3 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑋 ∈ 𝑆 )
48 11 46 47 3jca ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) )
49 48 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) )
50 3simpb ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) )
51 50 adantl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) )
52 eqidd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
53 eqid ⊢ ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑀 )
54 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑀 ) = ( +g ‘ 𝑀 )
55 1 2 3 53 54 5 lincdifsn ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
56 49 51 52 55 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
57 56 eqeq1d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ↔ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
58 fveq2 ⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
59 id ⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → 𝑠 = 𝑧 )
60 58 59 oveq12d ⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
61 60 cbvmptv ⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
62 61 a1i ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) )
63 62 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) )
64 63 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) )
65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunit3lem2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
66 64 65 eqtr2d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) )
67 66 oveq1d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
68 67 eqeq1d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ↔ ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
69 lmodgrp ⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp )
70 69 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ Grp )
71 70 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑀 ∈ Grp )
72 11 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
73 elmapi ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 )
74 73 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 )
75 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
76 74 47 75 syl2anr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
77 elpwi ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
78 77 sselda ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
79 78 3adant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
80 79 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
81 1 2 53 3 lmodvscl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
82 72 76 80 81 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
83 2 lmodfgrp ⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp )
84 83 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Grp )
85 3 7 grpinvcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
86 84 76 85 syl2an2r ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
87 lmodcmn ⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd )
88 87 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ CMnd )
89 88 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑀 ∈ CMnd )
90 26 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
91 simpll2 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
92 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunit1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
93 92 3adantr3 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
94 elmapi ⊢ ( 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐸 )
95 93 94 syl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐸 )
96 95 ffvelcdmda ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐸 )
97 ssel2 ⊢ ( ( 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → 𝑠 ∈ 𝐵 )
98 97 expcom ⊢ ( 𝑠 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
99 17 77 98 syl2imc ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
100 99 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
101 100 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
102 101 imp ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑠 ∈ 𝐵 )
103 1 2 53 3 lmodvscl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 )
104 91 96 102 103 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 )
105 104 fmpttd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐵 )
106 25 adantr ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
107 ssdifss ⊢ ( 𝑆 ⊆ 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝐵 )
108 77 107 syl ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝐵 )
109 108 adantr ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝐵 )
110 109 1 sseqtrdi ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
111 106 110 elpwd ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
112 111 3adant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
113 11 112 jca ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
114 113 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
115 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunit2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 finSupp 0 )
116 115 5 breqtrdi ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
117 2 3 scmfsupp ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝐺 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑀 ) )
118 114 93 116 117 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑀 ) )
119 118 6 breqtrrdi ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) finSupp 𝑍 )
120 1 6 89 90 105 119 gsumcl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 )
121 1 2 53 3 lmodvscl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
122 72 86 120 121 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
123 eqid ⊢ ( invg ‘ 𝑀 ) = ( invg ‘ 𝑀 )
124 1 54 6 123 grpinvid2 ⊢ ( ( 𝑀 ∈ Grp ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
125 71 82 122 124 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
126 1 2 53 123 3 7 72 80 76 lmodvsneg ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
127 126 eqeq1d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ) )
128 simpr2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 )
129 1 2 3 4 7 53 lincresunit3lem3 ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) )
130 eqcom ⊢ ( 𝑋 = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 )
131 129 130 bitrdi ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
132 72 80 120 128 131 syl31anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
133 132 biimpd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
134 127 133 sylbid ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
135 125 134 sylbird ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
136 68 135 sylbid ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
137 57 136 sylbid ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
138 137 3impia ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 )
139 45 138 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = 𝑋 )