Theorem lincresunit3

Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	lincresunit.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
	lincresunit.r	⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
	lincresunit.e	⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
	lincresunit.u	⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
	lincresunit.0	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
	lincresunit.z	⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
	lincresunit.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
	lincresunit.i	⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
	lincresunit.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
	lincresunit.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
Assertion	lincresunit3	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = 𝑋 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincresunit.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
2		lincresunit.r	⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
3		lincresunit.e	⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
4		lincresunit.u	⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
5		lincresunit.0	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
6		lincresunit.z	⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
7		lincresunit.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
8		lincresunit.i	⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
9		lincresunit.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
10		lincresunit.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
11		simp2	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ LMod )
12	11	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → 𝑀 ∈ LMod )
13		simp1	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) )
14		3simpa	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) )
15	14	3ad2ant2	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) )
16	13 15	jca	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) )
17		eldifi	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝑆 )
18	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	lincresunitlem2	⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐸 )
19	16 17 18	syl2an	⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ∈ 𝐸 )
20	2	fveq2i	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) )
21	3 20	eqtri	⊢ 𝐸 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) )
22	19 21	eleqtrdi	⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) )
23	22 10	fmptd	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) )
24		fvex	⊢ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ∈ V
25		difexg	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
26	25	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
27	26	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
28		elmapg	⊢ ( ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ∈ V ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V ) → ( 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ↔ 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ) )
29	24 27 28	sylancr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ↔ 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ) )
30	23 29	mpbird	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
31		difexg	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
32	31	adantl	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
33		ssdifss	⊢ ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
34	33	a1i	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
35		elpwi	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
36	34 35	impel	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
37	32 36	elpwd	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
38	37	expcom	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
39	1	pweqi	⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 )
40	38 39	eleq2s	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
41	40	imp	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
42	41	3adant2	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
43	42	3ad2ant1	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
44		lincval	⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) )
45	12 30 43 44	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) )
46		simp1	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 )
47		simp3	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑋 ∈ 𝑆 )
48	11 46 47	3jca	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) )
49	48	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) )
50		3simpb	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) )
51	50	adantl	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) )
52		eqidd	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
53		eqid	⊢ ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑀 )
54		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑀 ) = ( +g ‘ 𝑀 )
55	1 2 3 53 54 5	lincdifsn	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
56	49 51 52 55	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
57	56	eqeq1d	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ↔ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
58		fveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) )
59		id	⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → 𝑠 = 𝑧 )
60	58 59	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑧 → ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
61	60	cbvmptv	⊢ ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
62	61	a1i	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) )
63	62	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) )
64	63	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) )
65	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	lincresunit3lem2	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
66	64 65	eqtr2d	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) )
67	66	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) )
68	67	eqeq1d	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ↔ ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
69		lmodgrp	⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp )
70	69	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ Grp )
71	70	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑀 ∈ Grp )
72	11	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
73		elmapi	⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 )
74	73	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 )
75		ffvelcdm	⊢ ( ( 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
76	74 47 75	syl2anr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
77		elpwi	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
78	77	sselda	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
79	78	3adant2	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
80	79	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
81	1 2 53 3	lmodvscl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
82	72 76 80 81	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
83	2	lmodfgrp	⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp )
84	83	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Grp )
85	3 7	grpinvcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
86	84 76 85	syl2an2r	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
87		lmodcmn	⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ CMnd )
88	87	3ad2ant2	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ CMnd )
89	88	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑀 ∈ CMnd )
90	26	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
91		simpll2	⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
92	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	lincresunit1	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
93	92	3adantr3	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
94		elmapi	⊢ ( 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐸 )
95	93 94	syl	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐸 )
96	95	ffvelcdmda	⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐸 )
97		ssel2	⊢ ( ( 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆 ) → 𝑠 ∈ 𝐵 )
98	97	expcom	⊢ ( 𝑠 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
99	17 77 98	syl2imc	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
100	99	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
101	100	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑠 ∈ 𝐵 ) )
102	101	imp	⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑠 ∈ 𝐵 )
103	1 2 53 3	lmodvscl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 )
104	91 96 102 103	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ∈ 𝐵 )
105	104	fmpttd	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐵 )
106	25	adantr	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
107		ssdifss	⊢ ( 𝑆 ⊆ 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝐵 )
108	77 107	syl	⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝐵 )
109	108	adantr	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝐵 )
110	109 1	sseqtrdi	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
111	106 110	elpwd	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
112	111	3adant2	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
113	11 112	jca	⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
114	113	adantr	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
115	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	lincresunit2	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 finSupp 0 )
116	115 5	breqtrdi	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
117	2 3	scmfsupp	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝐺 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑀 ) )
118	114 93 116 117	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑀 ) )
119	118 6	breqtrrdi	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) finSupp 𝑍 )
120	1 6 89 90 105 119	gsumcl	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 )
121	1 2 53 3	lmodvscl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
122	72 86 120 121	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐵 )
123		eqid	⊢ ( invg ‘ 𝑀 ) = ( invg ‘ 𝑀 )
124	1 54 6 123	grpinvid2	⊢ ( ( 𝑀 ∈ Grp ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
125	71 82 122 124	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 ) )
126	1 2 53 123 3 7 72 80 76	lmodvsneg	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) )
127	126	eqeq1d	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ) )
128		simpr2	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 )
129	1 2 3 4 7 53	lincresunit3lem3	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ 𝑋 = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) )
130		eqcom	⊢ ( 𝑋 = ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 )
131	129 130	bitrdi	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
132	72 80 120 128 131	syl31anc	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ↔ ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
133	132	biimpd	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
134	127 133	sylbid	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( invg ‘ 𝑀 ) ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
135	125 134	sylbird	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
136	68 135	sylbid	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( +g ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑋 ) ) = 𝑍 → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
137	57 136	sylbid	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 ) )
138	137	3impia	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑠 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑠 ) ) ) = 𝑋 )
139	45 138	eqtrd	⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ ( 𝐹 ( linC ‘ 𝑀 ) 𝑆 ) = 𝑍 ) → ( 𝐺 ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = 𝑋 )