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Theorem lincresunit3lem2

Description: Lemma 2 for lincresunit3 . (Contributed by AV, 18-May-2019) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses lincresunit.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
lincresunit.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
lincresunit.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
lincresunit.u ⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
lincresunit.0 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
lincresunit.z ⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
lincresunit.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
lincresunit.i ⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
lincresunit.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
lincresunit.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
Assertion lincresunit3lem2 ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lincresunit.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑀 )
2 lincresunit.r ⊢ 𝑅 = ( Scalar ‘ 𝑀 )
3 lincresunit.e ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑅 )
4 lincresunit.u ⊢ 𝑈 = ( Unit ‘ 𝑅 )
5 lincresunit.0 ⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
6 lincresunit.z ⊢ 𝑍 = ( 0g ‘ 𝑀 )
7 lincresunit.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
8 lincresunit.i ⊢ 𝐼 = ( invr ‘ 𝑅 )
9 lincresunit.t ⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
10 lincresunit.g ⊢ 𝐺 = ( 𝑠 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐼 ‘ ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ) · ( 𝐹 ‘ 𝑠 ) ) )
11 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
12 2 fveq2i ⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) )
13 3 12 eqtri ⊢ 𝐸 = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) )
14 13 oveq1i ⊢ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) = ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m 𝑆 )
15 14 eleq2i ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ↔ 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m 𝑆 ) )
16 15 biimpi ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m 𝑆 ) )
17 16 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m 𝑆 ) )
18 17 adantl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m 𝑆 ) )
19 difssd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝑆 )
20 elmapssres ⊢ ( ( 𝐹 ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ 𝑆 ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
21 18 19 20 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
22 elpwi ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
23 22 ssdifssd ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) )
24 difexg ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
25 elpwg ⊢ ( ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V → ( ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
26 24 25 syl ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ↔ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⊆ ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
27 23 26 mpbird ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
28 1 pweqi ⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 )
29 27 28 eleq2s ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
30 29 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
31 30 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) )
32 lincval ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∈ ( ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑀 ) ) ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) )
33 11 21 31 32 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) )
34 simpll ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) )
35 simplr1 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) )
36 simplr2 ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 )
37 simpr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunit3lem1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
39 34 35 36 37 38 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
40 fvres ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
41 40 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) )
42 41 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) )
43 42 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
44 39 43 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) )
45 44 mpteq2dva ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) = ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) )
46 45 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) = ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) )
47 eqid ⊢ ( +g ‘ 𝑀 ) = ( +g ‘ 𝑀 )
48 eqid ⊢ ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑀 )
49 difexg ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
50 49 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
51 50 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ V )
52 2 lmodfgrp ⊢ ( 𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp )
53 52 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ Grp )
54 53 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ) → 𝑅 ∈ Grp )
55 elmapi ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) → 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 )
56 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
57 56 expcom ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑆 → ( 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ) )
58 57 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 : 𝑆 ⟶ 𝐸 → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ) )
59 55 58 syl5com ⊢ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ) )
60 59 impcom ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 )
61 3 7 grpinvcl ⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐸 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
62 54 60 61 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
63 62 3ad2antr1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐸 )
64 11 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑀 ∈ LMod )
65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunit1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
66 65 3adantr3 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )
67 elmapi ⊢ ( 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐸 )
68 ffvelcdm ⊢ ( ( 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 )
69 68 ex ⊢ ( 𝐺 : ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ⟶ 𝐸 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 ) )
70 66 67 69 3syl ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 ) )
71 70 imp ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 )
72 elpwi ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵 )
73 eldifi ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑧 ∈ 𝑆 )
74 ssel2 ⊢ ( ( 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
75 74 expcom ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝑆 → ( 𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
76 73 75 syl ⊢ ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → ( 𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
77 72 76 syl5com ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
78 77 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
79 78 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) )
80 79 imp ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 )
81 1 2 48 3 lmodvscl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
82 64 71 80 81 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
83 simp2 ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → 𝑀 ∈ LMod )
84 83 30 jca ⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
85 84 adantr ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) )
86 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lincresunit2 ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 finSupp 0 )
87 86 5 breqtrdi ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → 𝐺 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) )
88 2 3 scmfsupp ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝐺 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑀 ) )
89 88 6 breqtrrdi ⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ LMod ∧ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ∈ 𝒫 ( Base ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝐺 ∈ ( 𝐸 ↑m ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ∧ 𝐺 finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) finSupp 𝑍 )
90 85 66 87 89 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) finSupp 𝑍 )
91 1 2 3 6 47 48 11 51 63 82 90 gsumvsmul ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) = ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) )
92 33 46 91 3eqtr2rd ⊢ ( ( ( 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ∈ ( 𝐸 ↑m 𝑆 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑋 ) ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) ( 𝑀 Σg ( 𝑧 ∈ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ↦ ( ( 𝐺 ‘ 𝑧 ) ( ·𝑠 ‘ 𝑀 ) 𝑧 ) ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) ( linC ‘ 𝑀 ) ( 𝑆 ∖ { 𝑋 } ) ) )