Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mamucl.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
mamucl.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring ) |
3 |
|
mamuass.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ Fin ) |
4 |
|
mamuass.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ Fin ) |
5 |
|
mamuass.o |
⊢ ( 𝜑 → 𝑂 ∈ Fin ) |
6 |
|
mamuass.p |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ Fin ) |
7 |
|
mamuass.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑁 ) ) ) |
8 |
|
mamuass.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑂 ) ) ) |
9 |
|
mamuass.z |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑂 × 𝑃 ) ) ) |
10 |
|
mamuass.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑅 maMul 〈 𝑀 , 𝑁 , 𝑂 〉 ) |
11 |
|
mamuass.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑅 maMul 〈 𝑀 , 𝑂 , 𝑃 〉 ) |
12 |
|
mamuass.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑅 maMul 〈 𝑀 , 𝑁 , 𝑃 〉 ) |
13 |
|
mamuass.i |
⊢ 𝐼 = ( 𝑅 maMul 〈 𝑁 , 𝑂 , 𝑃 〉 ) |
14 |
|
ringcmn |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd ) |
15 |
2 14
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑅 ∈ CMnd ) |
17 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑂 ∈ Fin ) |
18 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
19 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
20 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑋 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑁 ) ) → 𝑋 : ( 𝑀 × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 ) |
21 |
7 20
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 : ( 𝑀 × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 ) |
22 |
21
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑋 : ( 𝑀 × 𝑁 ) ⟶ 𝐵 ) |
23 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑖 ∈ 𝑀 ) |
24 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑙 ∈ 𝑁 ) |
25 |
22 23 24
|
fovrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ∈ 𝐵 ) |
26 |
25
|
adantrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ∈ 𝐵 ) |
27 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑌 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑂 ) ) → 𝑌 : ( 𝑁 × 𝑂 ) ⟶ 𝐵 ) |
28 |
8 27
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 : ( 𝑁 × 𝑂 ) ⟶ 𝐵 ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑌 : ( 𝑁 × 𝑂 ) ⟶ 𝐵 ) |
30 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑙 ∈ 𝑁 ) |
31 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑗 ∈ 𝑂 ) |
32 |
29 30 31
|
fovrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) |
33 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑂 × 𝑃 ) ) → 𝑍 : ( 𝑂 × 𝑃 ) ⟶ 𝐵 ) |
34 |
9 33
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 : ( 𝑂 × 𝑃 ) ⟶ 𝐵 ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑍 : ( 𝑂 × 𝑃 ) ⟶ 𝐵 ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑗 ∈ 𝑂 ) |
37 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑘 ∈ 𝑃 ) |
38 |
35 36 37
|
fovrnd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ∈ 𝐵 ) |
39 |
38
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ∈ 𝐵 ) |
40 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
41 |
1 40
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ∈ 𝐵 ) |
42 |
19 32 39 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ∈ 𝐵 ) |
43 |
1 40
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
44 |
19 26 42 43
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ∈ 𝐵 ) |
45 |
1 16 17 18 44
|
gsumcom3fi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
46 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
47 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑀 ∈ Fin ) |
48 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
49 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑂 ∈ Fin ) |
50 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑋 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑁 ) ) ) |
51 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑌 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑂 ) ) ) |
52 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → 𝑖 ∈ 𝑀 ) |
53 |
10 1 40 46 47 48 49 50 51 52 36
|
mamufv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( 𝑖 ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝑗 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ) ) ) |
54 |
53
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( ( 𝑖 ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) |
55 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
56 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 ) |
57 |
1 40
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
58 |
19 26 32 57
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
59 |
58
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ∈ 𝐵 ) |
60 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ) |
61 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ∈ V ) |
62 |
|
fvexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V ) |
63 |
60 48 61 62
|
fsuppmptdm |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
64 |
1 55 56 40 46 48 38 59 63
|
gsummulc1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) = ( ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) |
65 |
1 40
|
ringass |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) |
66 |
19 26 32 39 65
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) |
67 |
66
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) |
68 |
67
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) |
69 |
68
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
70 |
54 64 69
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( ( 𝑖 ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
71 |
70
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
72 |
71
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
73 |
2
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
74 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
75 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑂 ∈ Fin ) |
76 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑃 ∈ Fin ) |
77 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑌 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑂 ) ) ) |
78 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑂 × 𝑃 ) ) ) |
79 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → 𝑘 ∈ 𝑃 ) |
80 |
13 1 40 73 74 75 76 77 78 24 79
|
mamufv |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑙 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) 𝑘 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) |
81 |
80
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) 𝑘 ) ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
82 |
42
|
anass1rs |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ∈ 𝐵 ) |
83 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) = ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) |
84 |
|
ovexd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑂 ) → ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ∈ V ) |
85 |
|
fvexd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ V ) |
86 |
83 75 84 85
|
fsuppmptdm |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) finSupp ( 0g ‘ 𝑅 ) ) |
87 |
1 55 56 40 73 75 25 82 86
|
gsummulc2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) = ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
88 |
81 87
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) 𝑘 ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) |
89 |
88
|
mpteq2dva |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) 𝑘 ) ) ) = ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) |
90 |
89
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑙 𝑌 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) ) ) ) |
91 |
45 72 90
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) 𝑘 ) ) ) ) ) |
92 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
93 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑀 ∈ Fin ) |
94 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑃 ∈ Fin ) |
95 |
1 2 10 3 4 5 7 8
|
mamucl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑂 ) ) ) |
96 |
95
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑂 ) ) ) |
97 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑍 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑂 × 𝑃 ) ) ) |
98 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑖 ∈ 𝑀 ) |
99 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑘 ∈ 𝑃 ) |
100 |
11 1 40 92 93 17 94 96 97 98 99
|
mamufv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) 𝑘 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑗 ∈ 𝑂 ↦ ( ( 𝑖 ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝑗 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑗 𝑍 𝑘 ) ) ) ) ) |
101 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑁 ) ) ) |
102 |
1 2 13 4 5 6 8 9
|
mamucl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑃 ) ) ) |
103 |
102
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑁 × 𝑃 ) ) ) |
104 |
12 1 40 92 93 18 94 101 103 98 99
|
mamufv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑖 ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) 𝑘 ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑖 𝑋 𝑙 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝑙 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) 𝑘 ) ) ) ) ) |
105 |
91 100 104
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑃 ) ) → ( 𝑖 ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) 𝑘 ) = ( 𝑖 ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) 𝑘 ) ) |
106 |
105
|
ralrimivva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑖 ∈ 𝑀 ∀ 𝑘 ∈ 𝑃 ( 𝑖 ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) 𝑘 ) = ( 𝑖 ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) 𝑘 ) ) |
107 |
1 2 11 3 5 6 95 9
|
mamucl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑃 ) ) ) |
108 |
|
elmapi |
⊢ ( ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑃 ) ) → ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) : ( 𝑀 × 𝑃 ) ⟶ 𝐵 ) |
109 |
|
ffn |
⊢ ( ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) : ( 𝑀 × 𝑃 ) ⟶ 𝐵 → ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) Fn ( 𝑀 × 𝑃 ) ) |
110 |
107 108 109
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) Fn ( 𝑀 × 𝑃 ) ) |
111 |
1 2 12 3 4 6 7 102
|
mamucl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑃 ) ) ) |
112 |
|
elmapi |
⊢ ( ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ∈ ( 𝐵 ↑m ( 𝑀 × 𝑃 ) ) → ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) : ( 𝑀 × 𝑃 ) ⟶ 𝐵 ) |
113 |
|
ffn |
⊢ ( ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) : ( 𝑀 × 𝑃 ) ⟶ 𝐵 → ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) Fn ( 𝑀 × 𝑃 ) ) |
114 |
111 112 113
|
3syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) Fn ( 𝑀 × 𝑃 ) ) |
115 |
|
eqfnov2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) Fn ( 𝑀 × 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) Fn ( 𝑀 × 𝑃 ) ) → ( ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) = ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑀 ∀ 𝑘 ∈ 𝑃 ( 𝑖 ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) 𝑘 ) = ( 𝑖 ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) 𝑘 ) ) ) |
116 |
110 114 115
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) = ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ↔ ∀ 𝑖 ∈ 𝑀 ∀ 𝑘 ∈ 𝑃 ( 𝑖 ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) 𝑘 ) = ( 𝑖 ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) 𝑘 ) ) ) |
117 |
106 116
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 𝐹 𝑌 ) 𝐺 𝑍 ) = ( 𝑋 𝐻 ( 𝑌 𝐼 𝑍 ) ) ) |