Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mdetuni.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
2 |
|
mdetuni.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
3 |
|
mdetuni.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
mdetuni.0g |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
mdetuni.1r |
⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑅 ) |
6 |
|
mdetuni.pg |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑅 ) |
7 |
|
mdetuni.tg |
⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 ) |
8 |
|
mdetuni.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ Fin ) |
9 |
|
mdetuni.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring ) |
10 |
|
mdetuni.ff |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 : 𝐵 ⟶ 𝐾 ) |
11 |
|
mdetuni.al |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝑁 ∀ 𝑧 ∈ 𝑁 ( ( 𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( 𝑦 𝑥 𝑤 ) = ( 𝑧 𝑥 𝑤 ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = 0 ) ) |
12 |
|
mdetuni.li |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
13 |
|
mdetuni.sc |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐾 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( ( { 𝑤 } × 𝑁 ) × { 𝑦 } ) ∘f · ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝑦 · ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
14 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) |
15 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) |
16 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) |
17 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → 𝐺 ∈ 𝐵 ) |
18 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → 𝐻 ∈ 𝑁 ) |
19 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → 𝐸 ∈ 𝐵 ) |
20 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → 𝐹 ∈ 𝐵 ) |
21 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → 𝜑 ) |
22 |
21 12
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
23 |
|
reseq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) |
24 |
23
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) ) |
25 |
|
reseq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) |
26 |
25
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) |
27 |
25
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) |
28 |
24 26 27
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) ) |
29 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) ) |
30 |
29
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
31 |
28 30
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
2ralbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝐸 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
33 |
|
reseq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) |
34 |
33
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) |
35 |
34
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) ) |
36 |
|
reseq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) |
37 |
36
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) |
38 |
35 37
|
3anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) ) |
39 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) = ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) ) |
40 |
39
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) |
41 |
40
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
42 |
38 41
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
2ralbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝐹 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) ) |
44 |
32 43
|
rspc2va |
⊢ ( ( ( 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝑥 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝑦 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑦 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑥 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝑦 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
45 |
19 20 22 44
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) |
46 |
|
reseq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) |
47 |
46
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) |
48 |
47
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ) ) |
49 |
|
reseq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) |
50 |
49
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) |
51 |
48 50
|
3anbi13d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ) ) |
52 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) = ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) |
53 |
52
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) |
54 |
53
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ↔ ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
55 |
51 54
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐺 → ( ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
56 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → { 𝑤 } = { 𝐻 } ) |
57 |
56
|
xpeq1d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( { 𝑤 } × 𝑁 ) = ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) |
58 |
57
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) |
59 |
57
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) |
60 |
57
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) |
61 |
59 60
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) |
62 |
58 61
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) ) |
63 |
56
|
difeq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) = ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) ) |
64 |
63
|
xpeq1d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) = ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) |
65 |
64
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) |
66 |
64
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) |
67 |
65 66
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) |
68 |
64
|
reseq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) |
69 |
65 68
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) |
70 |
62 67 69
|
3anbi123d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) ) |
71 |
70
|
imbi1d |
⊢ ( 𝑤 = 𝐻 → ( ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ) |
72 |
55 71
|
rspc2va |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ∧ ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑤 ∈ 𝑁 ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝑧 ↾ ( { 𝑤 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝑧 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝑤 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝑧 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
73 |
17 18 45 72
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
74 |
73
|
3adantr3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
75 |
74
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) ) |
76 |
14 15 16 75
|
mp3and |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝐻 ∈ 𝑁 ∧ ( 𝐸 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) = ( ( 𝐹 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ∘f + ( 𝐺 ↾ ( { 𝐻 } × 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐹 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) = ( 𝐺 ↾ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐻 } ) × 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐷 ‘ 𝐸 ) = ( ( 𝐷 ‘ 𝐹 ) + ( 𝐷 ‘ 𝐺 ) ) ) |