Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mppsval.p |
⊢ 𝑃 = ( mPreSt ‘ 𝑇 ) |
2 |
|
mppsval.j |
⊢ 𝐽 = ( mPPSt ‘ 𝑇 ) |
3 |
|
mppsval.c |
⊢ 𝐶 = ( mCls ‘ 𝑇 ) |
4 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( mPreSt ‘ 𝑡 ) = ( mPreSt ‘ 𝑇 ) ) |
5 |
4 1
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( mPreSt ‘ 𝑡 ) = 𝑃 ) |
6 |
5
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ ( mPreSt ‘ 𝑡 ) ↔ 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ) ) |
7 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( mCls ‘ 𝑡 ) = ( mCls ‘ 𝑇 ) ) |
8 |
7 3
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( mCls ‘ 𝑡 ) = 𝐶 ) |
9 |
8
|
oveqd |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( 𝑑 ( mCls ‘ 𝑡 ) ℎ ) = ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) |
10 |
9
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( 𝑎 ∈ ( 𝑑 ( mCls ‘ 𝑡 ) ℎ ) ↔ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) |
11 |
6 10
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → ( ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ ( mPreSt ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 ( mCls ‘ 𝑡 ) ℎ ) ) ↔ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) ) |
12 |
11
|
oprabbidv |
⊢ ( 𝑡 = 𝑇 → { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ ( mPreSt ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 ( mCls ‘ 𝑡 ) ℎ ) ) } = { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } ) |
13 |
|
df-mpps |
⊢ mPPSt = ( 𝑡 ∈ V ↦ { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ ( mPreSt ‘ 𝑡 ) ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 ( mCls ‘ 𝑡 ) ℎ ) ) } ) |
14 |
1
|
fvexi |
⊢ 𝑃 ∈ V |
15 |
1 2 3
|
mppspstlem |
⊢ { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } ⊆ 𝑃 |
16 |
14 15
|
ssexi |
⊢ { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } ∈ V |
17 |
12 13 16
|
fvmpt |
⊢ ( 𝑇 ∈ V → ( mPPSt ‘ 𝑇 ) = { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } ) |
18 |
|
fvprc |
⊢ ( ¬ 𝑇 ∈ V → ( mPPSt ‘ 𝑇 ) = ∅ ) |
19 |
|
df-oprab |
⊢ { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } = { 𝑥 ∣ ∃ 𝑑 ∃ ℎ ∃ 𝑎 ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) } |
20 |
|
abn0 |
⊢ ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑑 ∃ ℎ ∃ 𝑎 ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) } ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑑 ∃ ℎ ∃ 𝑎 ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) ) |
21 |
|
elfvex |
⊢ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ ( mPreSt ‘ 𝑇 ) → 𝑇 ∈ V ) |
22 |
21 1
|
eleq2s |
⊢ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 → 𝑇 ∈ V ) |
23 |
22
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) → 𝑇 ∈ V ) |
24 |
23
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ ℎ ∃ 𝑎 ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) → 𝑇 ∈ V ) |
25 |
24
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑑 ∃ ℎ ∃ 𝑎 ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) → 𝑇 ∈ V ) |
26 |
20 25
|
sylbi |
⊢ ( { 𝑥 ∣ ∃ 𝑑 ∃ ℎ ∃ 𝑎 ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) } ≠ ∅ → 𝑇 ∈ V ) |
27 |
26
|
necon1bi |
⊢ ( ¬ 𝑇 ∈ V → { 𝑥 ∣ ∃ 𝑑 ∃ ℎ ∃ 𝑎 ( 𝑥 = 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∧ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) ) } = ∅ ) |
28 |
19 27
|
syl5eq |
⊢ ( ¬ 𝑇 ∈ V → { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } = ∅ ) |
29 |
18 28
|
eqtr4d |
⊢ ( ¬ 𝑇 ∈ V → ( mPPSt ‘ 𝑇 ) = { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } ) |
30 |
17 29
|
pm2.61i |
⊢ ( mPPSt ‘ 𝑇 ) = { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } |
31 |
2 30
|
eqtri |
⊢ 𝐽 = { 〈 〈 𝑑 , ℎ 〉 , 𝑎 〉 ∣ ( 〈 𝑑 , ℎ , 𝑎 〉 ∈ 𝑃 ∧ 𝑎 ∈ ( 𝑑 𝐶 ℎ ) ) } |