Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hpg.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
hpg.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
hpg.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
hpg.o |
⊢ 𝑂 = { 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ 𝐷 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ 𝐷 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑏 ) ) } |
5 |
|
opphl.l |
⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
6 |
|
opphl.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
7 |
|
opphl.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
8 |
|
opphl.k |
⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
9 |
|
opphl.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
10 |
|
opphl.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
opphl.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
12 |
|
opphl.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 𝑂 𝐶 ) |
13 |
|
opphl.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷 ) |
14 |
|
opphl.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝐵 ) |
15 |
6
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
16 |
7
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) = ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) |
18 |
10
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( pInvG ‘ 𝐺 ) = ( pInvG ‘ 𝐺 ) |
20 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑚 ∈ 𝑃 ) |
21 |
9
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
22 |
1 2 3 5 19 16 20 17 21
|
mircl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ∈ 𝑃 ) |
23 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑦 ∈ 𝐷 ) |
24 |
|
simp-6r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑧 ∈ 𝐷 ) |
25 |
13
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑅 ∈ 𝐷 ) |
26 |
11
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
27 |
|
simp-8r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑥 ∈ 𝐷 ) |
28 |
12
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐴 𝑂 𝐶 ) |
29 |
|
simp-7r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
30 |
5 16 29
|
perpln1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ∈ ran 𝐿 ) |
31 |
1 2 3 5 16 30 15 29
|
perpcom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ) |
32 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
33 |
5 16 32
|
perpln1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ∈ ran 𝐿 ) |
34 |
1 2 3 5 16 33 15 32
|
perpcom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ) |
35 |
1 5 3 16 15 27
|
tglnpt |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
36 |
1 3 5 16 21 35 30
|
tglnne |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐴 ≠ 𝑥 ) |
37 |
1 3 8 21 21 35 16 36
|
hlid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) 𝐴 ) |
38 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) |
39 |
38
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) = 𝑧 ) |
40 |
1 2 3 4 5 15 16 8 17 21 26 27 24 20 28 31 34 21 39
|
opphllem6 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝑥 ) 𝐴 ↔ ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ( 𝐾 ‘ 𝑧 ) 𝐶 ) ) |
41 |
37 40
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ( 𝐾 ‘ 𝑧 ) 𝐶 ) |
42 |
1 2 3 4 5 15 16 8 17 21 26 27 24 20 28 31 34 21 22 37 41
|
opphllem5 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐴 𝑂 ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ) |
43 |
39 24
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ∈ 𝐷 ) |
44 |
1 2 3 5 19 16 17 15 20 27 43
|
mirln2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑚 ∈ 𝐷 ) |
45 |
1 2 3 5 19 16 20 17 21
|
mirmir |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
46 |
45
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐴 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
47 |
1 5 3 7 6 13
|
tglnpt |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃 ) |
48 |
1 3 8 9 10 47 7 14
|
hlne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅 ) |
49 |
48
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐴 ≠ 𝑅 ) |
50 |
1 3 8 9 10 47 7 14
|
hlne2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝑅 ) |
51 |
50
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 ≠ 𝑅 ) |
52 |
1 3 8 9 10 47 7
|
ishlg |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝐵 ↔ ( 𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐴 ) ) ) ) ) |
53 |
14 52
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ≠ 𝑅 ∧ 𝐵 ≠ 𝑅 ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐴 ) ) ) ) |
54 |
53
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐴 ) ) ) |
55 |
54
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐵 ) ∨ 𝐵 ∈ ( 𝑅 𝐼 𝐴 ) ) ) |
56 |
1 2 3 4 5 15 16 17 21 18 22 25 42 44 46 49 51 55
|
opphllem2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 𝑂 ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ) |
57 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
58 |
5 16 57
|
perpln1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ∈ ran 𝐿 ) |
59 |
1 2 3 5 16 58 15 57
|
perpcom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ) |
60 |
1 5 3 16 15 24
|
tglnpt |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
61 |
1 3 8 22 26 60 16 41
|
hlne1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ≠ 𝑧 ) |
62 |
1 3 8 22 26 60 16 5 41
|
hlln |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ) |
63 |
1 3 5 16 26 60 33
|
tglnne |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐶 ≠ 𝑧 ) |
64 |
1 3 5 16 26 60 63
|
tglinerflx2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ) |
65 |
1 3 5 16 22 60 61 61 33 62 64
|
tglinethru |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) = ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) 𝐿 𝑧 ) ) |
66 |
34 65
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) 𝐿 𝑧 ) ) |
67 |
1 5 3 16 15 23
|
tglnpt |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
68 |
1 3 5 16 18 67 58
|
tglnne |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 ≠ 𝑦 ) |
69 |
1 3 8 18 21 67 16 68
|
hlid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 ( 𝐾 ‘ 𝑦 ) 𝐵 ) |
70 |
1 3 8 22 26 60 16 41
|
hlcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐶 ( 𝐾 ‘ 𝑧 ) ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝐴 ) ) |
71 |
1 2 3 4 5 15 16 8 17 18 22 23 24 20 56 59 66 18 26 69 70
|
opphllem5 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 𝑂 𝐶 ) |
72 |
1 2 3 4 5 6 7 9 11 12
|
oppne1 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ) |
73 |
1 3 8 9 10 47 7 5 14
|
hlln |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝑅 ) ) |
74 |
73
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝑅 ) ) |
75 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
76 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
77 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ 𝑃 ) |
78 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐵 ≠ 𝑅 ) |
79 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
80 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐵 ∈ 𝐷 ) |
81 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝑅 ∈ 𝐷 ) |
82 |
1 3 5 75 76 77 78 78 79 80 81
|
tglinethru |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐷 = ( 𝐵 𝐿 𝑅 ) ) |
83 |
74 82
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ) → 𝐴 ∈ 𝐷 ) |
84 |
72 83
|
mtand |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷 ) |
85 |
1 2 3 5 7 6 10 84
|
footex |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
86 |
85
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝐷 ( 𝐵 𝐿 𝑦 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
87 |
71 86
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) → 𝐵 𝑂 𝐶 ) |
88 |
7
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
89 |
6
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
90 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑥 ∈ 𝐷 ) |
91 |
1 5 3 88 89 90
|
tglnpt |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
92 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑧 ∈ 𝐷 ) |
93 |
1 5 3 88 89 92
|
tglnpt |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
94 |
1 2 3 4 5 6 7 9 11 12
|
opptgdim2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ) |
95 |
94
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ) |
96 |
1 2 3 5 88 19 91 93 95
|
midex |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ∃ 𝑚 ∈ 𝑃 𝑧 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑥 ) ) |
97 |
87 96
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 𝑂 𝐶 ) |
98 |
1 2 3 4 5 6 7 9 11 12
|
oppne2 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ) |
99 |
1 2 3 5 7 6 11 98
|
footex |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝐷 ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
100 |
99
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐷 ( 𝐶 𝐿 𝑧 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
101 |
97 100
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) → 𝐵 𝑂 𝐶 ) |
102 |
1 2 3 5 7 6 9 72
|
footex |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐷 ( 𝐴 𝐿 𝑥 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
103 |
101 102
|
r19.29a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 𝑂 𝐶 ) |