Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hpg.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
hpg.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
hpg.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
hpg.o |
⊢ 𝑂 = { 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∣ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑃 ∖ 𝐷 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝑃 ∖ 𝐷 ) ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝑎 𝐼 𝑏 ) ) } |
5 |
|
opphl.l |
⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
6 |
|
opphl.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
7 |
|
opphl.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
8 |
|
opphl.k |
⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
9 |
|
opphllem5.n |
⊢ 𝑁 = ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑀 ) |
10 |
|
opphllem5.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
opphllem5.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
12 |
|
opphllem5.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐷 ) |
13 |
|
opphllem5.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐷 ) |
14 |
|
opphllem5.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑃 ) |
15 |
|
opphllem5.o |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 𝑂 𝐶 ) |
16 |
|
opphllem5.p |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ) |
17 |
|
opphllem5.q |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ) |
18 |
|
opphllem5.u |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃 ) |
19 |
|
opphllem5.v |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃 ) |
20 |
|
opphllem5.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) |
21 |
|
opphllem5.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑉 ( 𝐾 ‘ 𝑆 ) 𝐶 ) |
22 |
1 5 3 7 6 12
|
tglnpt |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑃 ) |
23 |
1 3 8 18 10 22 7 20
|
hlne2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝑅 ) |
24 |
1 3 5 7 10 22 23
|
tglinecom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) = ( 𝑅 𝐿 𝐴 ) ) |
25 |
16 24
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 𝐿 𝐴 ) ) |
26 |
1 3 8 18 10 22 7 20
|
hlcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝑈 ) |
27 |
1 2 3 5 7 6 8 12 10 18 25 26
|
hlperpnel |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ 𝐷 ) |
28 |
27
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ¬ 𝑈 ∈ 𝐷 ) |
29 |
1 5 3 7 6 13
|
tglnpt |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃 ) |
30 |
1 3 8 19 11 29 7 21
|
hlne2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝑆 ) |
31 |
1 3 5 7 11 29 30
|
tglinecom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) = ( 𝑆 𝐿 𝐶 ) ) |
32 |
17 31
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 𝐿 𝐶 ) ) |
33 |
1 3 8 19 11 29 7 21
|
hlcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝐾 ‘ 𝑆 ) 𝑉 ) |
34 |
1 2 3 5 7 6 8 13 11 19 32 33
|
hlperpnel |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑉 ∈ 𝐷 ) |
35 |
34
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ¬ 𝑉 ∈ 𝐷 ) |
36 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑡 ∈ 𝐷 ) |
37 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 = 𝑡 ) → 𝑅 = 𝑡 ) |
38 |
|
eqid |
⊢ ( pInvG ‘ 𝐺 ) = ( pInvG ‘ 𝐺 ) |
39 |
7
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
40 |
11
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
41 |
22
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑅 ∈ 𝑃 ) |
42 |
7
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
43 |
6
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
44 |
1 5 3 42 43 36
|
tglnpt |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑡 ∈ 𝑃 ) |
45 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑡 ∈ 𝑃 ) |
46 |
10
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
47 |
29
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑆 ∈ 𝑃 ) |
48 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 = 𝑆 ) |
49 |
1 3 5 7 11 29 30
|
tglinerflx2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ) |
50 |
49
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑆 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ) |
51 |
48 50
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ) |
52 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑅 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ) |
53 |
5 7 17
|
perpln2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ∈ ran 𝐿 ) |
54 |
1 2 3 5 7 6 53 17
|
perpcom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
55 |
54
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
56 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑅 ≠ 𝑡 ) |
57 |
6
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
58 |
12
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑅 ∈ 𝐷 ) |
59 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑡 ∈ 𝐷 ) |
60 |
1 3 5 39 41 45 56 56 57 58 59
|
tglinethru |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝐷 = ( 𝑅 𝐿 𝑡 ) ) |
61 |
55 60
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 𝐿 𝑡 ) ) |
62 |
1 2 3 5 39 40 47 52 45 61
|
perprag |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 〈“ 𝐶 𝑅 𝑡 ”〉 ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ) |
63 |
1 3 5 7 10 22 23
|
tglinerflx2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ) |
64 |
63
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑅 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ) |
65 |
5 7 16
|
perpln2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ∈ ran 𝐿 ) |
66 |
1 2 3 5 7 6 65 16
|
perpcom |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
67 |
66
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) 𝐷 ) |
68 |
67 60
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 𝐿 𝑡 ) ) |
69 |
1 2 3 5 39 46 41 64 45 68
|
perprag |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 〈“ 𝐴 𝑅 𝑡 ”〉 ∈ ( ∟G ‘ 𝐺 ) ) |
70 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
71 |
1 2 3 39 46 45 40 70
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑡 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) |
72 |
1 2 3 5 38 39 40 41 45 46 62 69 71
|
ragflat2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑡 ) → 𝑅 = 𝑡 ) |
73 |
37 72
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 = 𝑡 ) |
74 |
10
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
75 |
18
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑈 ∈ 𝑃 ) |
76 |
19
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑉 ∈ 𝑃 ) |
77 |
22
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ 𝑃 ) |
78 |
26
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝑈 ) |
79 |
11
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
80 |
21
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑉 ( 𝐾 ‘ 𝑆 ) 𝐶 ) |
81 |
48
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) = ( 𝐾 ‘ 𝑆 ) ) |
82 |
81
|
breqd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝑉 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝐶 ↔ 𝑉 ( 𝐾 ‘ 𝑆 ) 𝐶 ) ) |
83 |
80 82
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑉 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝐶 ) |
84 |
1 3 8 76 79 77 42 83
|
hlcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐶 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝑉 ) |
85 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
86 |
73 85
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
87 |
1 2 3 42 74 77 79 86
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) |
88 |
1 3 8 79 76 74 42 77 84 87
|
btwnhl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑉 𝐼 𝐴 ) ) |
89 |
1 2 3 42 76 77 74 88
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑉 ) ) |
90 |
1 3 8 74 75 76 42 77 78 89
|
btwnhl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) |
91 |
73 90
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑡 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) |
92 |
|
rspe |
⊢ ( ( 𝑡 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) |
93 |
36 91 92
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) |
94 |
28 35 93
|
jca31 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( ( ¬ 𝑈 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑉 ∈ 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) ) |
95 |
1 2 3 4 18 19
|
islnopp |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑈 𝑂 𝑉 ↔ ( ( ¬ 𝑈 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑉 ∈ 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) ) ) |
96 |
95
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝑈 𝑂 𝑉 ↔ ( ( ¬ 𝑈 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝑉 ∈ 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝑈 𝐼 𝑉 ) ) ) ) |
97 |
94 96
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷 ) ∧ 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝑈 𝑂 𝑉 ) |
98 |
1 2 3 4 10 11
|
islnopp |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝑂 𝐶 ↔ ( ( ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ) ) |
99 |
15 98
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ¬ 𝐴 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐷 ) ∧ ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ) |
100 |
99
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
101 |
100
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
102 |
97 101
|
r19.29a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑆 ) → 𝑈 𝑂 𝑉 ) |
103 |
6
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
104 |
7
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
105 |
|
eqid |
⊢ ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) = ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) |
106 |
10
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
107 |
11
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
108 |
12
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐷 ) |
109 |
13
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐷 ) |
110 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑚 ∈ 𝑃 ) |
111 |
15
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝐴 𝑂 𝐶 ) |
112 |
16
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ) |
113 |
17
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ) |
114 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → 𝑅 ≠ 𝑆 ) |
115 |
114
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑅 ≠ 𝑆 ) |
116 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) |
117 |
18
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ 𝑃 ) |
118 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) |
119 |
118
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) = 𝑆 ) |
120 |
19
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑉 ∈ 𝑃 ) |
121 |
20
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑈 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) |
122 |
21
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑉 ( 𝐾 ‘ 𝑆 ) 𝐶 ) |
123 |
1 2 3 4 5 103 104 8 105 106 107 108 109 110 111 112 113 115 116 117 119 120 121 122
|
opphllem4 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ) → 𝑈 𝑂 𝑉 ) |
124 |
6
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐷 ∈ ran 𝐿 ) |
125 |
7
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
126 |
19
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑉 ∈ 𝑃 ) |
127 |
18
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑈 ∈ 𝑃 ) |
128 |
11
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
129 |
10
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
130 |
13
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐷 ) |
131 |
12
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐷 ) |
132 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑚 ∈ 𝑃 ) |
133 |
15
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐴 𝑂 𝐶 ) |
134 |
1 2 3 4 5 124 125 129 128 133
|
oppcom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐶 𝑂 𝐴 ) |
135 |
17
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐶 𝐿 𝑆 ) ) |
136 |
16
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝐷 ( ⟂G ‘ 𝐺 ) ( 𝐴 𝐿 𝑅 ) ) |
137 |
114
|
necomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → 𝑆 ≠ 𝑅 ) |
138 |
137
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑆 ≠ 𝑅 ) |
139 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) |
140 |
22
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑅 ∈ 𝑃 ) |
141 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) |
142 |
141
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) = 𝑆 ) |
143 |
1 2 3 5 38 125 132 105 140 142
|
mircom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑆 ) = 𝑅 ) |
144 |
21
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑉 ( 𝐾 ‘ 𝑆 ) 𝐶 ) |
145 |
20
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑈 ( 𝐾 ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) |
146 |
1 2 3 4 5 124 125 8 105 128 129 130 131 132 134 135 136 138 139 126 143 127 144 145
|
opphllem4 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑉 𝑂 𝑈 ) |
147 |
1 2 3 4 5 124 125 126 127 146
|
oppcom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) ∧ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) → 𝑈 𝑂 𝑉 ) |
148 |
|
eqid |
⊢ ( ≤G ‘ 𝐺 ) = ( ≤G ‘ 𝐺 ) |
149 |
1 2 3 148 7 29 11 22 10
|
legtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ∨ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) ) |
150 |
149
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) → ( ( 𝑆 − 𝐶 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑅 − 𝐴 ) ∨ ( 𝑅 − 𝐴 ) ( ≤G ‘ 𝐺 ) ( 𝑆 − 𝐶 ) ) ) |
151 |
123 147 150
|
mpjaodan |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ∧ 𝑚 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) → 𝑈 𝑂 𝑉 ) |
152 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
153 |
22
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → 𝑅 ∈ 𝑃 ) |
154 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → 𝑆 ∈ 𝑃 ) |
155 |
1 2 3 4 5 6 7 10 11 15
|
opptgdim2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ) |
156 |
155
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → 𝐺 DimTarskiG≥ 2 ) |
157 |
1 2 3 5 152 38 153 154 156
|
midex |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → ∃ 𝑚 ∈ 𝑃 𝑆 = ( ( ( pInvG ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑚 ) ‘ 𝑅 ) ) |
158 |
151 157
|
r19.29a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) → 𝑈 𝑂 𝑉 ) |
159 |
102 158
|
pm2.61dane |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 𝑂 𝑉 ) |