Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
⊢ ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) |
2 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
3 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ ) |
4 |
3
|
nnzd |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ ) |
5 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
6 |
|
eluzmn |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ) → 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
7 |
4 5 6
|
sylancl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
8 |
|
fzss2 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) → ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑃 ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ⊆ ( 1 ... 𝑃 ) ) |
10 |
|
fz1ssfz0 |
⊢ ( 1 ... 𝑃 ) ⊆ ( 0 ... 𝑃 ) |
11 |
9 10
|
sstrdi |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... 𝑃 ) ) |
12 |
11
|
sselda |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑃 ) ) |
13 |
|
bcval2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ... 𝑃 ) → ( 𝑃 C 𝑁 ) = ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 C 𝑁 ) = ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
15 |
3
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0 ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℕ0 ) |
17 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
19 |
|
bccl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑃 C 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
20 |
16 18 19
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 C 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
21 |
20
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 C 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
22 |
14 21
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ∈ ℤ ) |
23 |
|
elfznn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
24 |
23
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
25 |
24
|
nnnn0d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
26 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 1 ∈ ℤ ) |
27 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℤ ) |
28 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
29 |
|
elfzm11 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑃 ) ) ) |
30 |
29
|
biimpa |
⊢ ( ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑃 ) ) |
31 |
30
|
simp3d |
⊢ ( ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 < 𝑃 ) |
32 |
26 27 28 31
|
syl21anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 < 𝑃 ) |
33 |
|
ltsubnn0 |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 < 𝑃 → ( 𝑃 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ) |
34 |
33
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑁 < 𝑃 ) → ( 𝑃 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
35 |
16 25 32 34
|
syl21anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
36 |
35
|
faccld |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
37 |
36
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
38 |
25
|
faccld |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
39 |
38
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
40 |
37 39
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
41 |
37
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
42 |
39
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
43 |
|
facne0 |
⊢ ( ( 𝑃 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
44 |
35 43
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
45 |
|
facne0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
46 |
25 45
|
syl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ! ‘ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
47 |
41 42 44 46
|
mulne0d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
48 |
|
uzid |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑃 ) ) |
49 |
4 48
|
syl |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑃 ) ) |
50 |
|
dvdsfac |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑃 ) ) → 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑃 ) ) |
51 |
3 49 50
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑃 ) ) |
52 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑃 ) ) |
53 |
16
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
54 |
24
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
55 |
53 54
|
ltsubrpd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝑃 − 𝑁 ) < 𝑃 ) |
56 |
|
prmndvdsfaclt |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝑃 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑃 − 𝑁 ) < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ) ) |
57 |
56
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝑃 − 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝑃 − 𝑁 ) < 𝑃 ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ) |
58 |
2 35 55 57
|
syl21anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ) |
59 |
|
prmndvdsfaclt |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 < 𝑃 → ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) |
60 |
59
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑁 < 𝑃 ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) |
61 |
2 25 32 60
|
syl21anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) |
62 |
|
ioran |
⊢ ( ¬ ( 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∨ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) |
63 |
|
euclemma |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑃 ∥ ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∨ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
64 |
63
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑃 ∥ ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∨ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
65 |
64
|
con3d |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ¬ ( 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∨ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
66 |
62 65
|
syl5bir |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
67 |
66
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ∥ ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) |
68 |
2 37 39 58 61 67
|
syl32anc |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ¬ 𝑃 ∥ ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) |
69 |
1 2 22 40 47 52 68
|
dvdszzq |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∥ ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 𝑁 ) ) · ( ! ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
70 |
69 14
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → 𝑃 ∥ ( 𝑃 C 𝑁 ) ) |