Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tpres.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 = { 〈 𝐴 , 𝐷 〉 , 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) |
2 |
|
tpres.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉 ) |
3 |
|
tpres.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉 ) |
4 |
|
tpres.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉 ) |
5 |
|
tpres.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉 ) |
6 |
|
tpres.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
7 |
|
tpres.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴 ) |
8 |
|
df-res |
⊢ ( 𝑇 ↾ ( V ∖ { 𝐴 } ) ) = ( 𝑇 ∩ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ) |
9 |
|
elin |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 ∩ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ) ) |
10 |
|
elxp |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ↔ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
11 |
10
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
12 |
1
|
eleq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ { 〈 𝐴 , 𝐷 〉 , 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) |
13 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
14 |
13
|
eltp |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐴 , 𝐷 〉 , 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ↔ ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
15 |
|
eldifsn |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ↔ ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ) |
16 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑎 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ↔ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) |
18 |
|
vex |
⊢ 𝑎 ∈ V |
19 |
|
vex |
⊢ 𝑏 ∈ V |
20 |
18 19
|
opth |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ↔ ( 𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐷 ) ) |
21 |
|
eqneqall |
⊢ ( 𝑎 = 𝐴 → ( 𝑎 ≠ 𝐴 → ( 𝑏 = 𝐷 → ( 𝜑 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) ) |
22 |
21
|
com12 |
⊢ ( 𝑎 ≠ 𝐴 → ( 𝑎 = 𝐴 → ( 𝑏 = 𝐷 → ( 𝜑 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) ) |
23 |
22
|
impd |
⊢ ( 𝑎 ≠ 𝐴 → ( ( 𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐷 ) → ( 𝜑 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
24 |
20 23
|
syl5bi |
⊢ ( 𝑎 ≠ 𝐴 → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → ( 𝜑 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
25 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑎 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) → ( 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → ( 𝜑 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
26 |
17 25
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑎 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → ( 𝜑 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
27 |
26
|
impd |
⊢ ( ( 𝑎 ≠ 𝐴 ∧ 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
28 |
27
|
ex |
⊢ ( 𝑎 ≠ 𝐴 → ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
29 |
28
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) → ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
30 |
15 29
|
sylbi |
⊢ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) → ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) → ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
32 |
31
|
impcom |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
33 |
32
|
com12 |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
34 |
33
|
exlimdvv |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
35 |
34
|
ex |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) ) |
36 |
35
|
impd |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
37 |
|
orc |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
38 |
37
|
a1d |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
39 |
|
olc |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
40 |
39
|
a1d |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
41 |
36 38 40
|
3jaoi |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
42 |
14 41
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐴 , 𝐷 〉 , 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
43 |
13
|
elpr |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ↔ ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
44 |
42 43
|
syl6ibr |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐴 , 𝐷 〉 , 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } → ( ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) → 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) |
45 |
44
|
expd |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐴 , 𝐷 〉 , 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } → ( 𝜑 → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) ) |
46 |
45
|
com12 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐴 , 𝐷 〉 , 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) ) |
47 |
12 46
|
sylbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑇 → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) → 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) ) |
48 |
47
|
impd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) → 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) |
49 |
|
3mix2 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 → ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
50 |
|
3mix3 |
⊢ ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 → ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
51 |
49 50
|
jaoi |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
52 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
53 |
12 14
|
bitrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑇 ↔ ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
54 |
53
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑇 ↔ ( 𝑥 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) ) |
55 |
52 54
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ∧ 𝜑 ) → 𝑥 ∈ 𝑇 ) |
56 |
2
|
elexd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ V ) |
57 |
4
|
elexd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ V ) |
58 |
56 6 57
|
jca31 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐸 ∈ V ) ) |
59 |
58
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐸 ∈ V ) ) ) |
60 |
|
opeq12 |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐸 ) → 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ) |
61 |
60
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐸 ) → ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ↔ 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ) ) |
62 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝐵 → ( 𝑎 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V ) ) |
63 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝐵 → ( 𝑎 ≠ 𝐴 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ) |
64 |
62 63
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝐵 → ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ↔ ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ) ) |
65 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝐸 → ( 𝑏 ∈ V ↔ 𝐸 ∈ V ) ) |
66 |
64 65
|
bi2anan9 |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐸 ) → ( ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ↔ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐸 ∈ V ) ) ) |
67 |
61 66
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐸 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ↔ ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐸 ∈ V ) ) ) ) |
68 |
67
|
spc2egv |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐸 ∈ V ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
69 |
2 4 68
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐸 ∈ V ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
70 |
69
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐸 ∈ V ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
71 |
59 70
|
mpd |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
72 |
3
|
elexd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ V ) |
73 |
5
|
elexd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ V ) |
74 |
72 7 73
|
jca31 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐹 ∈ V ) ) |
75 |
74
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐹 ∈ V ) ) ) |
76 |
|
opeq12 |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐶 ∧ 𝑏 = 𝐹 ) → 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) |
77 |
76
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐶 ∧ 𝑏 = 𝐹 ) → ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ↔ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ) |
78 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝐶 → ( 𝑎 ∈ V ↔ 𝐶 ∈ V ) ) |
79 |
|
neeq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝐶 → ( 𝑎 ≠ 𝐴 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ) |
80 |
78 79
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝐶 → ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ↔ ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ) ) |
81 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑏 = 𝐹 → ( 𝑏 ∈ V ↔ 𝐹 ∈ V ) ) |
82 |
80 81
|
bi2anan9 |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐶 ∧ 𝑏 = 𝐹 ) → ( ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ↔ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐹 ∈ V ) ) ) |
83 |
77 82
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝑎 = 𝐶 ∧ 𝑏 = 𝐹 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ↔ ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐹 ∈ V ) ) ) ) |
84 |
83
|
spc2egv |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐹 ∈ V ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
85 |
3 5 84
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐹 ∈ V ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
86 |
85
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ ( ( 𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝐹 ∈ V ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
87 |
75 86
|
mpd |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
88 |
71 87
|
jaoian |
⊢ ( ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
89 |
15
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ↔ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) |
90 |
89
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ↔ ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
91 |
90
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ↔ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( ( 𝑎 ∈ V ∧ 𝑎 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
92 |
88 91
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) |
93 |
55 92
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) |
94 |
93
|
ex |
⊢ ( ( 𝑥 = 〈 𝐵 , 𝐸 〉 ∨ 𝑥 = 〈 𝐶 , 𝐹 〉 ) → ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) ) |
95 |
43 94
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } → ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) ) |
96 |
95
|
com12 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } → ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ) ) |
97 |
48 96
|
impbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑥 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ ( 𝑎 ∈ ( V ∖ { 𝐴 } ) ∧ 𝑏 ∈ V ) ) ) ↔ 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) |
98 |
11 97
|
syl5bb |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ) ↔ 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) |
99 |
9 98
|
syl5bb |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝑇 ∩ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ) ↔ 𝑥 ∈ { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) ) |
100 |
99
|
eqrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 ∩ ( ( V ∖ { 𝐴 } ) × V ) ) = { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) |
101 |
8 100
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eqtrid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 ↾ ( V ∖ { 𝐴 } ) ) = { 〈 𝐵 , 𝐸 〉 , 〈 𝐶 , 𝐹 〉 } ) |