Theorem vmalogdivsum

Description: The sum sum_ n <_ x , Lam ( n ) log n / n is asymptotic to log ^ 2 ( x ) / 2 + O ( log x ) . Exercise 9.1.7 of Shapiro, p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	vmalogdivsum	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) ∈ 𝑂(1)

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ )
2	1	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ )
3		1rp	⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ∈ ℝ+ )
5		1red	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ∈ ℝ )
6		eliooord	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) → ( 1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞ ) )
7	6	adantl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞ ) )
8	7	simpld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 < 𝑥 )
9	5 2 8	ltled	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 1 ≤ 𝑥 )
10	2 4 9	rpgecld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ )
11	10	ex	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) → 𝑥 ∈ ℝ+ ) )
12	11	ssrdv	⊢ ( ⊤ → ( 1 (,) +∞ ) ⊆ ℝ+ )
13		vmadivsum	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1)
14	13	a1i	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
15	12 14	o1res2	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
16		fzfid	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ∈ Fin )
17		elfznn	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
18	17	adantl	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ )
19		vmacl	⊢ ( 𝑛 ∈ ℕ → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
20	18 19	syl	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
21	20 18	nndivred	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℝ )
22	21	recnd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℂ )
23	16 22	fsumcl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℂ )
24	10	relogcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
25	24	recnd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
26	23 25	subcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
27	18	nnrpd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ+ )
28	27	relogcld	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℝ )
29	21 28	remulcld	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ )
30	16 29	fsumrecl	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℝ )
31	2 8	rplogcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ+ )
32	30 31	rerpdivcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
33	24	rehalfcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ∈ ℝ )
34	32 33	resubcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ∈ ℝ )
35	34	recnd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
36	33	recnd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ∈ ℂ )
37	23 36	subcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
38	32	recnd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
39	37 38 36	nnncan2d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
40	23 36 36	subsub4d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) + ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) )
41	25	2halvesd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) + ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) = ( log ‘ 𝑥 ) )
42	41	oveq2d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) + ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) )
43	40 42	eqtrd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) )
44	43	oveq1d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) )
45	23 36 38	sub32d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) )
46	10	adantr	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ+ )
47	46	relogcld	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℝ )
48	21 47	remulcld	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℝ )
49	48	recnd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
50	29	recnd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ )
51	16 49 50	fsumsub	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) )
52	46 27	relogdivd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) = ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( log ‘ 𝑛 ) ) )
53	52	oveq2d	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) = ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( log ‘ 𝑛 ) ) ) )
54	25	adantr	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ∈ ℂ )
55	28	recnd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( log ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
56	22 54 55	subdid	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( ( log ‘ 𝑥 ) − ( log ‘ 𝑛 ) ) ) = ( ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) )
57	53 56	eqtrd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) = ( ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) )
58	57	sumeq2dv	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) )
59	20	recnd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( Λ ‘ 𝑛 ) ∈ ℂ )
60	18	nncnd	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℂ )
61	18	nnne0d	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → 𝑛 ≠ 0 )
62	59 60 61	divcld	⊢ ( ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ) → ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) ∈ ℂ )
63	16 25 62	fsummulc1	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) )
64	63	oveq1d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) )
65	51 58 64	3eqtr4d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) )
66	65	oveq1d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) )
67	23 25	mulcld	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) ∈ ℂ )
68	30	recnd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ∈ ℂ )
69	31	rpne0d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( log ‘ 𝑥 ) ≠ 0 )
70	67 68 25 69	divsubdird	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) − Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) = ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
71	23 25 69	divcan4d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) = Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) )
72	71	oveq1d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑥 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
73	66 70 72	3eqtrd	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) = ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) )
74	73	oveq1d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) )
75	45 74	eqtr4d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) − ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) )
76	39 44 75	3eqtr3d	⊢ ( ( ⊤ ∧ 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ) → ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) = ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) )
77	76	mpteq2dva	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) )
78		vmalogdivsum2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ ( 𝑥 / 𝑛 ) ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) ∈ 𝑂(1)
79	77 78	eqeltrdi	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
80	26 35 79	o1dif	⊢ ( ⊤ → ( ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) − ( log ‘ 𝑥 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) ∈ 𝑂(1) ) )
81	15 80	mpbid	⊢ ( ⊤ → ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) ∈ 𝑂(1) )
82	81	mptru	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 1 (,) +∞ ) ↦ ( ( Σ 𝑛 ∈ ( 1 ... ( ⌊ ‘ 𝑥 ) ) ( ( ( Λ ‘ 𝑛 ) / 𝑛 ) · ( log ‘ 𝑛 ) ) / ( log ‘ 𝑥 ) ) − ( ( log ‘ 𝑥 ) / 2 ) ) ) ∈ 𝑂(1)