Theorem infpn2 14431

Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes is unbounded by infpn 14430, so by unben 14427 it is infinite. This is Metamath 100 proof #11. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpn2.1

Assertion

Ref	Expression
infpn2

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem infpn2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpn2.1	. . 3
2		ssrab2 3584	. . 3
3	1, 2	eqsstri 3533	. 2
4		infpn 14430	. . . . 5
5		nnge1 10587	. . . . . . . . . . 11
6	5	adantr 465	. . . . . . . . . 10
7		nnre 10568	. . . . . . . . . . 11
8		nnre 10568	. . . . . . . . . . 11
9		1re 9616	. . . . . . . . . . . 12
10		lelttr 9696	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . 11
12	7, 8, 11	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
13	6, 12	mpand 675	. . . . . . . . 9
14	13	ancld 553	. . . . . . . 8
15	14	anim1d 564	. . . . . . 7
16		anass 649	. . . . . . 7
17	15, 16	syl6ib 226	. . . . . 6
18	17	reximdva 2932	. . . . 5
19	4, 18	mpd 15	. . . 4
20		breq2 4456	. . . . . . . . 9
21		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . 12
22	21	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11
23		equequ2 1799	. . . . . . . . . . . 12
24	23	orbi2d 701	. . . . . . . . . . 11
25	22, 24	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
26	25	ralbidv 2896	. . . . . . . . 9
27	20, 26	anbi12d 710	. . . . . . . 8
28	27, 1	elrab2 3259	. . . . . . 7
29	28	anbi1i 695	. . . . . 6
30		anass 649	. . . . . 6
31		ancom 450	. . . . . . 7
32	31	anbi2i 694	. . . . . 6
33	29, 30, 32	3bitri 271	. . . . 5
34	33	rexbii2 2957	. . . 4
35	19, 34	sylibr 212	. . 3
36	35	rgen 2817	. 2
37		unben 14427	. 2
38	3, 36, 37	mp2an 672	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cen 7533  cr 9512  1c1 9514  clt 9649  cle 9650  cdiv 10231  cn 10561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-fac 12354