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Theorem injresinj 11488
Description: A function whose restriction is injective and the values of the remaining arguments are different from all other values is injective itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
injresinj

Proof of Theorem injresinj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10540 . . . . . . . . . . 11
2 0le1 9737 . . . . . . . . . . 11
3 0z 10521 . . . . . . . . . . . 12
43eluz1i 10732 . . . . . . . . . . 11
51, 2, 4mpbir2an 888 . . . . . . . . . 10
6 fzoss1 11428 . . . . . . . . . 10
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9
8 fzossfz 11422 . . . . . . . . 9
97, 8sstri 3402 . . . . . . . 8
10 fssres 5595 . . . . . . . 8
119, 10mpan2 654 . . . . . . 7
1211biantrud 495 . . . . . 6
13 ancom 439 . . . . . . 7
14 df-f1 5443 . . . . . . 7
1513, 14bitr4i 245 . . . . . 6
1612, 15syl6bb 254 . . . . 5
17 simp-4r 745 . . . . . . . . 9
18 dff13 5985 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 fveq2 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2019eqeq1d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
21 equequ1 1713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2220, 21imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23 fveq2 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2423eqeq2d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25 equequ2 1714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2624, 25imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2722, 26rspc2va 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28 fvres 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2928eqcomd 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
30 fvres 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3130eqcomd 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3229, 31eqeqan12d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3332biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3433imim1d 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3534imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3635a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3736a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3837a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3938a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4039expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4127, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44 ianor 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45 eqcom 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
46 injresinjlem 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4746imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4847imp41 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
49 eqcom 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5048, 49syl6ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5145, 50syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5251ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5352ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453exp41 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 injresinjlem 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5654, 55jaoi 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5756a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5844, 57sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5943, 58pm2.61i 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059imp41 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160ralrimivv 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261exp41 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418, 63sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14
6564com13 77 . . . . . . . . . . . . 13
6665ex 425 . . . . . . . . . . . 12
6766com24 84 . . . . . . . . . . 11
6867impcom 421 . . . . . . . . . 10
6968imp41 578 . . . . . . . . 9
70 dff13 5985 . . . . . . . . 9
7117, 69, 70sylanbrc 647 . . . . . . . 8
7217biantrurd 496 . . . . . . . . 9
73 df-f1 5443 . . . . . . . . 9
7472, 73syl6bbr 256 . . . . . . . 8
7571, 74mpbird 225 . . . . . . 7
7675ex 425 . . . . . 6
7776exp41 595 . . . . 5
7816, 77syl6bi 221 . . . 4
7978pm2.43a 48 . . 3
80793imp 1155 . 2
8180com12 30 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 359  /\wa 360  /\w3a 939  =wceq 1670  e.wcel 1732  =/=wne 2652  A.wral 2759  i^icin 3364  C_wss 3365   c0 3673  {cpr 3910   class class class wbr 4318  `'ccnv 4861  |`cres 4864  "cima 4865  Funwfun 5432  -->wf 5434  -1-1->wf1 5435  `cfv 5438  (class class class)co 6103  0cc0 9161  1c1 9162   cle 9298   cn0 10445   cz 10510   cuz 10725   cfz 11293   cfzo 11400
This theorem is referenced by:  pthdepisspth  22595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1570  ax-4 1581  ax-5 1644  ax-6 1685  ax-7 1705  ax-8 1734  ax-9 1736  ax-10 1751  ax-11 1756  ax-12 1768  ax-13 1955  ax-ext 2470  ax-sep 4439  ax-nul 4447  ax-pow 4493  ax-pr 4554  ax-un 6382  ax-cnex 9217  ax-resscn 9218  ax-1cn 9219  ax-icn 9220  ax-addcl 9221  ax-addrcl 9222  ax-mulcl 9223  ax-mulrcl 9224  ax-mulcom 9225  ax-addass 9226  ax-mulass 9227  ax-distr 9228  ax-i2m1 9229  ax-1ne0 9230  ax-1rid 9231  ax-rnegex 9232  ax-rrecex 9233  ax-cnre 9234  ax-pre-lttri 9235  ax-pre-lttrn 9236  ax-pre-ltadd 9237  ax-pre-mulgt0 9238
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1338  df-ex 1566  df-nf 1569  df-sb 1677  df-eu 2317  df-mo 2318  df-clab 2476  df-cleq 2482  df-clel 2485  df-nfc 2614  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2764  df-rex 2765  df-reu 2766  df-rab 2768  df-v 3017  df-sbc 3225  df-csb 3326  df-dif 3368  df-un 3370  df-in 3372  df-ss 3379  df-pss 3381  df-nul 3674  df-if 3826  df-pw 3895  df-sn 3915  df-pr 3916  df-tp 3917  df-op 3918  df-uni 4118  df-iun 4199  df-br 4319  df-opab 4377  df-mpt 4378  df-tr 4412  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4868  df-rel 4869  df-cnv 4870  df-co 4871  df-dm 4872  df-rn 4873  df-res 4874  df-ima 4875  df-iota 5401  df-fun 5440  df-fn 5441  df-f 5442  df-f1 5443  df-fo 5444  df-f1o 5445  df-fv 5446  df-riota 6062  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6487  df-1st 6583  df-2nd 6584  df-recs 6795  df-rdg 6830  df-er 7067  df-en 7274  df-dom 7275  df-sdom 7276  df-pnf 9299  df-mnf 9300  df-xr 9301  df-ltxr 9302  df-le 9303  df-sub 9474  df-neg 9475  df-nn 10189  df-n0 10446  df-z 10511  df-uz 10726  df-fz 11294  df-fzo 11401
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