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Theorem injresinj 11251
Description: A function whose restriction is injective and the values of the remaining arguments are different from all other values is injective itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
injresinj

Proof of Theorem injresinj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10362 . . . . . . . . . . 11
2 0le1 9602 . . . . . . . . . . 11
3 0z 10344 . . . . . . . . . . . 12
43eluz1i 10546 . . . . . . . . . . 11
51, 2, 4mpbir2an 888 . . . . . . . . . 10
6 fzoss1 11213 . . . . . . . . . 10
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9
8 fzossfz 11208 . . . . . . . . 9
97, 8sstri 3346 . . . . . . . 8
10 fssres 5657 . . . . . . . 8
119, 10mpan2 654 . . . . . . 7
1211biantrud 495 . . . . . 6
13 ancom 439 . . . . . . 7
14 df-f1 5506 . . . . . . 7
1513, 14bitr4i 245 . . . . . 6
1612, 15syl6bb 254 . . . . 5
17 simp-4r 745 . . . . . . . . 9
18 dff13 6052 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2019eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
21 equequ1 1699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2220, 21imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2423eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25 equequ2 1701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2624, 25imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2722, 26rspc2va 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28 fvres 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2928eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
30 fvres 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3130eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3229, 31eqeqan12d 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3332biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3433imim1d 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3534imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3635a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3736a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3837a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3938a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4039expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4127, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44 ianor 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
46 injresinjlem 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4746imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4847imp41 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
49 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5048, 49syl6ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5145, 50syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5251ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5352ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453exp41 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 injresinjlem 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5654, 55jaoi 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5756a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5844, 57sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5943, 58pm2.61i 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059imp41 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160ralrimivv 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261exp41 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418, 63sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14
6564com13 77 . . . . . . . . . . . . 13
6665ex 425 . . . . . . . . . . . 12
6766com24 84 . . . . . . . . . . 11
6867impcom 421 . . . . . . . . . 10
6968imp41 578 . . . . . . . . 9
70 dff13 6052 . . . . . . . . 9
7117, 69, 70sylanbrc 647 . . . . . . . 8
7217biantrurd 496 . . . . . . . . 9
73 df-f1 5506 . . . . . . . . 9
7472, 73syl6bbr 256 . . . . . . . 8
7571, 74mpbird 225 . . . . . . 7
7675ex 425 . . . . . 6
7776exp41 595 . . . . 5
7816, 77syl6bi 221 . . . 4
7978pm2.43a 48 . . 3
80793imp 1148 . 2
8180com12 30 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 359  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606  A.wral 2712  i^icin 3308  C_wss 3309   c0 3616  {cpr 3842   class class class wbr 4243  `'ccnv 4918  |`cres 4921  "cima 4922  Funwfun 5495  -->wf 5497  -1-1->wf1 5498  `cfv 5501  (class class class)co 6129  0cc0 9041  1c1 9042   cle 9172   cn0 10272   cz 10333   cuz 10539   cfz 11094   cfzo 11186
This theorem is referenced by:  pthdepisspth  21625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-cnex 9097  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-n0 10273  df-z 10334  df-uz 10540  df-fz 11095  df-fzo 11187
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