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Theorem injresinj 11431
Description: A function whose restriction is injective and the values of the remaining arguments are different from all other values is injective itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
injresinj

Proof of Theorem injresinj
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10483 . . . . . . . . . . 11
2 0le1 9680 . . . . . . . . . . 11
3 0z 10464 . . . . . . . . . . . 12
43eluz1i 10675 . . . . . . . . . . 11
51, 2, 4mpbir2an 888 . . . . . . . . . 10
6 fzoss1 11371 . . . . . . . . . 10
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9
8 fzossfz 11365 . . . . . . . . 9
97, 8sstri 3390 . . . . . . . 8
10 fssres 5574 . . . . . . . 8
119, 10mpan2 654 . . . . . . 7
1211biantrud 495 . . . . . 6
13 ancom 439 . . . . . . 7
14 df-f1 5422 . . . . . . 7
1513, 14bitr4i 245 . . . . . 6
1612, 15syl6bb 254 . . . . 5
17 simp-4r 745 . . . . . . . . 9
18 dff13 5949 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 fveq2 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2019eqeq1d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
21 equequ1 1705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2220, 21imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
23 fveq2 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2423eqeq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
25 equequ2 1706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2624, 25imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2722, 26rspc2va 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28 fvres 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2928eqcomd 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
30 fvres 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3130eqcomd 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3229, 31eqeqan12d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3332biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3433imim1d 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3534imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3635a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3736a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3837a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3938a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4039expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4127, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4241ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4342pm2.43a 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44 ianor 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45 eqcom 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
46 injresinjlem 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4746imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4847imp41 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
49 eqcom 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5048, 49syl6ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5145, 50syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5251ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5352ancomsd 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453exp41 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 injresinjlem 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5654, 55jaoi 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5756a1d 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5844, 57sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5943, 58pm2.61i 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059imp41 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160ralrimivv 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261exp41 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
6418, 63sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . 14
6564com13 77 . . . . . . . . . . . . 13
6665ex 425 . . . . . . . . . . . 12
6766com24 84 . . . . . . . . . . 11
6867impcom 421 . . . . . . . . . 10
6968imp41 578 . . . . . . . . 9
70 dff13 5949 . . . . . . . . 9
7117, 69, 70sylanbrc 647 . . . . . . . 8
7217biantrurd 496 . . . . . . . . 9
73 df-f1 5422 . . . . . . . . 9
7472, 73syl6bbr 256 . . . . . . . 8
7571, 74mpbird 225 . . . . . . 7
7675ex 425 . . . . . 6
7776exp41 595 . . . . 5
7816, 77syl6bi 221 . . . 4
7978pm2.43a 48 . . 3
80793imp 1155 . 2
8180com12 30 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 359  /\wa 360  /\w3a 939  =wceq 1662  e.wcel 1724  =/=wne 2644  A.wral 2751  i^icin 3352  C_wss 3353   c0 3660  {cpr 3895   class class class wbr 4302  `'ccnv 4843  |`cres 4846  "cima 4847  Funwfun 5411  -->wf 5413  -1-1->wf1 5414  `cfv 5417  (class class class)co 6067  0cc0 9104  1c1 9105   cle 9241   cn0 10388   cz 10453   cuz 10668   cfz 11236   cfzo 11343
This theorem is referenced by:  pthdepisspth  22083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1562  ax-4 1573  ax-5 1636  ax-6 1677  ax-7 1697  ax-8 1726  ax-9 1728  ax-10 1743  ax-11 1748  ax-12 1760  ax-13 1947  ax-ext 2462  ax-sep 4423  ax-nul 4431  ax-pow 4477  ax-pr 4538  ax-un 6338  ax-cnex 9160  ax-resscn 9161  ax-1cn 9162  ax-icn 9163  ax-addcl 9164  ax-addrcl 9165  ax-mulcl 9166  ax-mulrcl 9167  ax-mulcom 9168  ax-addass 9169  ax-mulass 9170  ax-distr 9171  ax-i2m1 9172  ax-1ne0 9173  ax-1rid 9174  ax-rnegex 9175  ax-rrecex 9176  ax-cnre 9177  ax-pre-lttri 9178  ax-pre-lttrn 9179  ax-pre-ltadd 9180  ax-pre-mulgt0 9181
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1337  df-ex 1558  df-nf 1561  df-sb 1669  df-eu 2309  df-mo 2310  df-clab 2468  df-cleq 2474  df-clel 2477  df-nfc 2606  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3008  df-sbc 3213  df-csb 3314  df-dif 3356  df-un 3358  df-in 3360  df-ss 3367  df-pss 3369  df-nul 3661  df-if 3813  df-pw 3880  df-sn 3900  df-pr 3901  df-tp 3902  df-op 3903  df-uni 4102  df-iun 4183  df-br 4303  df-opab 4361  df-mpt 4362  df-tr 4396  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4850  df-rel 4851  df-cnv 4852  df-co 4853  df-dm 4854  df-rn 4855  df-res 4856  df-ima 4857  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6026  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-om 6442  df-1st 6538  df-2nd 6539  df-recs 6745  df-rdg 6780  df-er 7017  df-en 7222  df-dom 7223  df-sdom 7224  df-pnf 9242  df-mnf 9243  df-xr 9244  df-ltxr 9245  df-le 9246  df-sub 9417  df-neg 9418  df-nn 10132  df-n0 10389  df-z 10454  df-uz 10669  df-fz 11237  df-fzo 11344
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