Theorem injresinjlem 11925

Description: Lemma for injresinj 11926. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
injresinjlem

Proof of Theorem injresinjlem

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznelfzo 11915	. . . . . . 7
2		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
4		0elfz 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
6		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8	7	leidd 10144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9		elfz2nn0 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10	6, 6, 8, 9	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12		fnimapr 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	3, 5, 11, 12	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	13	ineq1d 3698	. . . . . . . . . . . . . . 15
15	14	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14
16		disj 3867	. . . . . . . . . . . . . 14
17	15, 16	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13
18		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	18, 19	pm3.2i 455	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
22	21	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	23	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16
25	22, 24	ralprg 4078	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	20, 25	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . 14
27		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28	27	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	28	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
30	29	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31	30	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32		1eluzge0 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
33		fzoss1 11852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
34	32, 33	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
35		fzossfz 11846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
36	34, 35	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
37		fvelimab 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38	2, 36, 37	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
39	38	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
40		ralnex 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
41		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
42	41	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
43	42	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
44	43	rspcva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
45		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
46	45	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
47	46	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
48	47	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
49	44, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50	49	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
51	50	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
52	40, 51	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
53	52	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
54	39, 53	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55	54	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
56	31, 55	syl6com 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58	57	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
60	59	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
61	60	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62	61	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63	62	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64	63, 55	syl6com 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65	64	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	65	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67	58, 66	jaoi 379	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	67	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14
69	26, 68	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13
70	17, 69	sylbid 215	. . . . . . . . . . . 12
71	70	com14 88	. . . . . . . . . . 11
72	71	com12 31	. . . . . . . . . 10
73	72	com15 93	. . . . . . . . 9
74		elfznelfzo 11915	. . . . . . . . . . 11
75		eqtr3 2485	. . . . . . . . . . . . . 14
76		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	76	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	77	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14
81	75, 80	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
82	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
83		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
84	83	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
85	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
86	82, 85	neeq12d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16
87		df-ne 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89	88	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	89	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
91	87, 90	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	86, 91	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	92	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13
95		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
96	95	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97	96	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
98	60	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
99	97, 98	neeq12d 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100		df-ne 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	100, 45	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
102	99, 101	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . 15
103	102	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14
104	103	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13
105		eqtr3 2485	. . . . . . . . . . . . . 14
106	105, 80	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
107	81, 94, 104, 106	ccase 946	. . . . . . . . . . . 12
108	107	ex 434	. . . . . . . . . . 11
109	74, 108	syl 16	. . . . . . . . . 10
110	109	expcom 435	. . . . . . . . 9
111	73, 110	pm2.61i 164	. . . . . . . 8
112	111	com12 31	. . . . . . 7
113	1, 112	syl 16	. . . . . 6
114	113	ex 434	. . . . 5
115	114	com23 78	. . . 4
116	115	impcom 430	. . 3
117	116	com12 31	. 2
118	117	com25 91	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {cpr 4031   class class class wbr 4452  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  0cc0 9513  1c1 9514  cle 9650  cn0 10820  cuz 11110  cfz 11701  cfzo 11824

This theorem is referenced by:  injresinj  11926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825