Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) |
2 |
1
|
iscmp |
|- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Top /\ A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) ) |
3 |
2
|
simprbi |
|- ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. B ) |
5 |
|
elex |
|- ( X e. UFL -> X e. _V ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X e. _V ) |
7 |
4 6
|
eqeltrrd |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B e. _V ) |
8 |
|
uniexb |
|- ( B e. _V <-> U. B e. _V ) |
9 |
7 8
|
sylibr |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B e. _V ) |
10 |
|
fiuni |
|- ( B e. _V -> U. B = U. ( fi ` B ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. B = U. ( fi ` B ) ) |
12 |
|
fibas |
|- ( fi ` B ) e. TopBases |
13 |
|
unitg |
|- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) ) |
14 |
12 13
|
mp1i |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. ( fi ` B ) ) |
15 |
11 4 14
|
3eqtr4d |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> X = U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) |
16 |
15
|
eqeq1d |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. x <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x ) ) |
17 |
15
|
eqeq1d |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( X = U. y <-> U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) |
18 |
17
|
rexbidv |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) |
19 |
16 18
|
imbi12d |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) ) |
20 |
19
|
ralbidv |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) ) ) |
21 |
|
ssfii |
|- ( B e. _V -> B C_ ( fi ` B ) ) |
22 |
9 21
|
syl |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( fi ` B ) ) |
23 |
|
bastg |
|- ( ( fi ` B ) e. TopBases -> ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) |
24 |
12 23
|
ax-mp |
|- ( fi ` B ) C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) |
25 |
22 24
|
sstrdi |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> B C_ ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) |
26 |
25
|
sspwd |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) |
27 |
|
ssralv |
|- ( ~P B C_ ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
29 |
20 28
|
sylbird |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P ( topGen ` ( fi ` B ) ) ( U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) U. ( topGen ` ( fi ` B ) ) = U. y ) -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
30 |
3 29
|
syl5 |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp -> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
31 |
|
simpll |
|- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X e. UFL ) |
32 |
|
simplr |
|- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> X = U. B ) |
33 |
|
eqidd |
|- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) = ( topGen ` ( fi ` B ) ) ) |
34 |
|
velpw |
|- ( z e. ~P B <-> z C_ B ) |
35 |
|
unieq |
|- ( x = z -> U. x = U. z ) |
36 |
35
|
eqeq2d |
|- ( x = z -> ( X = U. x <-> X = U. z ) ) |
37 |
|
pweq |
|- ( x = z -> ~P x = ~P z ) |
38 |
37
|
ineq1d |
|- ( x = z -> ( ~P x i^i Fin ) = ( ~P z i^i Fin ) ) |
39 |
38
|
rexeqdv |
|- ( x = z -> ( E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y <-> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) |
40 |
36 39
|
imbi12d |
|- ( x = z -> ( ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) <-> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
41 |
40
|
rspccv |
|- ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
42 |
41
|
adantl |
|- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z e. ~P B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
43 |
34 42
|
syl5bir |
|- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( z C_ B -> ( X = U. z -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |
44 |
43
|
imp32 |
|- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y ) |
45 |
|
unieq |
|- ( y = w -> U. y = U. w ) |
46 |
45
|
eqeq2d |
|- ( y = w -> ( X = U. y <-> X = U. w ) ) |
47 |
46
|
cbvrexvw |
|- ( E. y e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. y <-> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w ) |
48 |
44 47
|
sylib |
|- ( ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) /\ ( z C_ B /\ X = U. z ) ) -> E. w e. ( ~P z i^i Fin ) X = U. w ) |
49 |
31 32 33 48
|
alexsub |
|- ( ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) /\ A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp ) |
50 |
49
|
ex |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) -> ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp ) ) |
51 |
30 50
|
impbid |
|- ( ( X e. UFL /\ X = U. B ) -> ( ( topGen ` ( fi ` B ) ) e. Comp <-> A. x e. ~P B ( X = U. x -> E. y e. ( ~P x i^i Fin ) X = U. y ) ) ) |