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Theorem cdlemf2

Description: Part of Lemma F in Crawley p. 116. (Contributed by NM, 12-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemf1.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemf1.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemf1.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemf1.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemf2.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion cdlemf2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) -> E. p e. A E. q e. A ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemf1.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemf1.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemf1.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 cdlemf1.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 cdlemf2.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
6 1 3 4 lhpexnle 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. A -. p .<_ W )
7 6 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) -> E. p e. A -. p .<_ W )
8 1 2 3 4 cdlemf1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> E. q e. A ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) )
9 simpr1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> -. p .<_ W )
10 simpr32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> -. q .<_ W )
11 simpr33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> U .<_ ( p .\/ q ) )
12 simplrr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> U .<_ W )
13 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
14 13 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> K e. Lat )
15 simplrl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> U e. A )
16 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
17 16 3 atbase 
 |-  ( U e. A -> U e. ( Base ` K ) )
18 15 17 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> U e. ( Base ` K ) )
19 simplll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> K e. HL )
20 simpr1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> p e. A )
21 simpr2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> q e. A )
22 16 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ p e. A /\ q e. A ) -> ( p .\/ q ) e. ( Base ` K ) )
23 19 20 21 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> ( p .\/ q ) e. ( Base ` K ) )
24 16 4 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
25 24 ad3antlr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
26 16 1 5 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( U e. ( Base ` K ) /\ ( p .\/ q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( U .<_ ( p .\/ q ) /\ U .<_ W ) <-> U .<_ ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )
27 14 18 23 25 26 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> ( ( U .<_ ( p .\/ q ) /\ U .<_ W ) <-> U .<_ ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )
28 11 12 27 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> U .<_ ( ( p .\/ q ) ./\ W ) )
29 hlatl 
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
30 29 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> K e. AtLat )
31 simpll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
32 simpr31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> p =/= q )
33 1 2 5 3 4 lhpat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ p =/= q ) ) -> ( ( p .\/ q ) ./\ W ) e. A )
34 31 20 9 21 32 33 syl122anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> ( ( p .\/ q ) ./\ W ) e. A )
35 1 3 atcmp 
 |-  ( ( K e. AtLat /\ U e. A /\ ( ( p .\/ q ) ./\ W ) e. A ) -> ( U .<_ ( ( p .\/ q ) ./\ W ) <-> U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )
36 30 15 34 35 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> ( U .<_ ( ( p .\/ q ) ./\ W ) <-> U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )
37 28 36 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) )
38 9 10 37 jca31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ q e. A /\ ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) ) ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )
39 38 3exp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) -> ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) -> ( q e. A -> ( ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) ) ) ) )
40 39 3impia 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( q e. A -> ( ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) ) ) )
41 40 reximdvai 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( E. q e. A ( p =/= q /\ -. q .<_ W /\ U .<_ ( p .\/ q ) ) -> E. q e. A ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) ) )
42 8 41 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> E. q e. A ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )
43 42 3expia 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) -> ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) -> E. q e. A ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) ) )
44 43 expd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) -> ( p e. A -> ( -. p .<_ W -> E. q e. A ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) ) ) )
45 44 reximdvai 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) -> ( E. p e. A -. p .<_ W -> E. p e. A E. q e. A ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) ) )
46 7 45 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) ) -> E. p e. A E. q e. A ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W ) /\ U = ( ( p .\/ q ) ./\ W ) ) )